ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольник \(ABC\) является основанием пирамиды \(DABC\), \(AB = BC\), \(AC = a\), \(\angle BAC = \alpha\). Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(\beta\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Пусть \(ABC\) — равнобедренный треугольник с основанием \(AC = a\) и углом при вершине \(A\) равным \(\alpha\). Тогда высота \(h\) из вершины \(B\) на \(AC\) равна \(h = \frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2}\).

Двугранный угол при рёбрах основания равен \(\beta\), значит высота пирамиды \(D\) над основанием связана с этим углом через тангенс: высота \(H = h \tan \frac{\beta}{2}\).

Радиус вписанного шара в пирамиду равен расстоянию от центра основания до точки касания шара с боковыми гранями, что равно \(r = H \cdot \tan \frac{\beta}{2}\).

Подставляя выражения, получаем \(r = \frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}\).

Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC = a\) и углом при вершине \(A\), равным \(\alpha\). Поскольку треугольник равнобедренный, высота, проведённая из вершины \(B\) на основание \(AC\), делит основание пополам, то есть точка основания высоты делит отрезок \(AC\) на два равных отрезка длиной \(\frac{a}{2}\). Высота \(h\) в таком треугольнике связана с углом \(\alpha\) через тангенс половины угла: \(h = \frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2}\). Это следует из того, что половина треугольника — прямоугольный треугольник с углом \(\frac{\alpha}{2}\) при основании.

Далее, двугранные углы при рёбрах основания, равные \(\beta\), определяют угол наклона боковых граней пирамиды относительно плоскости основания. Эти углы позволяют выразить высоту пирамиды \(H\) через высоту основания \(h\). Высота пирамиды равна \(H = h \tan \frac{\beta}{2}\), так как двугранный угол \(\beta\) равен удвоенному углу наклона боковой грани к основанию, и половина этого угла даёт угол наклона боковой грани. Следовательно, высота пирамиды пропорциональна высоте основания, умноженной на тангенс половины двугранного угла.

Радиус вписанного шара \(r\) в пирамиду определяется расстоянием от центра основания до точки касания шара с боковыми гранями. Этот радиус равен произведению высоты пирамиды \(H\) на тангенс половины двугранного угла: \(r = H \tan \frac{\beta}{2}\). Подставляя выражение для \(H\), получаем формулу \(r = \frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2}\), которая показывает, что радиус вписанного шара зависит от длины основания, угла при вершине основания и двугранного угла при рёбрах пирамиды.