ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны, а площадь основания равна \(S\). Центр шара, вписанного в пирамиду, делит её высоту в отношении \(2:1\), считая от вершины пирамиды. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть \( S \) — площадь основания пирамиды, \( S_{\text{бок}} \) — площадь боковой поверхности, \( S_{\text{полн}} \) — площадь полной поверхности, \( r \) — радиус вписанного шара, \( h \) — высота пирамиды.

Центр вписанного шара делит высоту в отношении \( 2:1 \) от вершины, значит \( r = \frac{h}{3} \).

Объём пирамиды выражается как \( V = \frac{1}{3} S h \).

Также объём через радиус вписанного шара и полную поверхность: \( V = \frac{1}{3} r S_{\text{полн}} \).

Приравниваем: \( \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} r S_{\text{полн}} \).

Подставляем \( r = \frac{h}{3} \): \( S h = \frac{h}{3} S_{\text{полн}} \).

Сокращаем на \( h \): \( S = \frac{S_{\text{полн}}}{3} \).

Отсюда \( S_{\text{полн}} = 3 S \).

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с основанием площадью \( S \) и высотой \( h \). Вписанный шар касается всех граней пирамиды, а его центр делит высоту в отношении \( 2:1 \), считая от вершины. Это значит, что расстояние от вершины до центра шара равно \( \frac{2}{3} h \), а от основания до центра — \( \frac{1}{3} h \). Радиус вписанного шара \( r \) равен расстоянию от центра шара до основания, то есть \( r = \frac{h}{3} \).

Объём пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S h \), где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота. С другой стороны, объём пирамиды можно выразить через радиус вписанного шара и площадь полной поверхности \( S_{\text{полн}} \) формулой \( V = \frac{1}{3} r S_{\text{полн}} \). Эта формула основана на том, что объём равен одной трети произведения радиуса вписанного шара на площадь полной поверхности.

Приравняв два выражения объёма, получаем \( \frac{1}{3} S h = \frac{1}{3} r S_{\text{полн}} \). Умножая обе части на 3, имеем \( S h = r S_{\text{полн}} \). Подставляя \( r = \frac{h}{3} \), получаем уравнение \( S h = \frac{h}{3} S_{\text{полн}} \). Сокращая на \( h \) (которое не равно нулю), находим \( S = \frac{S_{\text{полн}}}{3} \). Отсюда следует, что площадь полной поверхности пирамиды равна трём площадям основания, то есть \( S_{\text{полн}} = 3 S \).