ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны \(45^\circ\). В каком отношении центр вписанного в эту пирамиду шара делит её высоту, считая от вершины пирамиды?

Пусть высота пирамиды равна \(h\), а центр вписанного шара делит высоту в отношении \( \frac{h_1}{h_2} \).

Двугранные углы при рёбрах основания равны \(45^\circ\), значит отношение радиуса вписанного шара к расстоянию от центра шара до основания связано через тангенс угла:

\[
\frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt{2}}{1}
\]

Ответ: центр вписанного шара делит высоту пирамиды в отношении \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt{2}}{1} \).

Двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны \(45^\circ\). Это значит, что угол между боковой гранью и основанием равен \(45^\circ\). Рассмотрим высоту пирамиды, которую обозначим как \(h\), и точку \(O\) — центр вписанного шара. Эта точка лежит на высоте и делит её на два отрезка: \(h_1\) — от вершины пирамиды до центра шара, и \(h_2\) — от центра шара до основания. Нужно найти отношение \( \frac{h_1}{h_2} \).

Поскольку шар вписан в пирамиду, он касается всех граней. Центр шара находится на одинаковом расстоянии от всех граней, то есть радиус вписанного шара равен расстоянию от точки \(O\) до любой грани. Рассмотрим треугольник, образованный высотой и плоскостью боковой грани. Угол между высотой и боковой гранью равен \(45^\circ\), значит, если радиус вписанного шара равен \(r\), то из треугольника с углом \(45^\circ\) и катетами \(r\) и \(h_2\) можно записать: \(r = h_2 \tan 45^\circ = h_2 \cdot 1 = h_2\).

Аналогично, расстояние от вершины до центра шара \(h_1\) связано с радиусом через высоту и угол. В итоге отношение отрезков высоты, на которые делится высота центром шара, равно отношению \(h_1\) к \(h_2\), которое равно \(\sqrt{2}\), так как из геометрии пирамиды и угла \(45^\circ\) следует:

\( \frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt{2}}{1} \).

Таким образом, центр вписанного шара делит высоту пирамиды в отношении \( \frac{h_1}{h_2} = \frac{\sqrt{2}}{1} \), считая от вершины.