ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Шар, вписанный в правильную четырёхугольную пирамиду, касается одной из её боковых граней в точке \(A\). Найдите площадь сечения этого шара плоскостью, проходящей через точку \(A\) параллельно основанию пирамиды, если двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(60^\circ\), а расстояние от центра шара до вершины пирамиды — 8 см.

Пусть радиус шара равен \(r\), центр шара — \(O\), точка касания — \(A\).

Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно 8 см, угол между радиусом и основанием равен \(60^\circ\).

Тогда \(r = 8 \cos 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\).

Радиус сечения, параллельного основанию, равен \(r_1 = r \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}\).

Площадь сечения равна \(S = \pi r_1^2 = \pi (2 \sqrt{3})^2 = 12 \pi\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с вписанным в неё шаром, который касается одной из боковых граней в точке \(A\). Центр шара обозначим как \(O\), а радиус шара как \(r\). Из условия известно, что расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно 8 см. При этом двугранный угол при ребре основания равен \(60^\circ\).

Поскольку шар касается боковой грани пирамиды, радиус \(OA\) перпендикулярен к этой грани. Плоскость сечения, проходящая через точку касания \(A\) и параллельная основанию, пересекает шар по кругу. Радиус этого круга равен проекции радиуса шара на плоскость сечения. Так как двугранный угол при ребре основания равен \(60^\circ\), угол между радиусом \(OA\) и плоскостью основания равен \(60^\circ\).

Используя тригонометрию, можем найти радиус шара \(r\). Расстояние от центра шара \(O\) до вершины пирамиды равно 8 см, и радиус \(r\) образует с этим расстоянием угол \(60^\circ\), поэтому \(r = 8 \cos 60^\circ\). Подставляя значение косинуса, получаем \(r = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\) см.

Далее радиус сечения \(r_1\) равен \(r\), умноженному на синус угла \(60^\circ\), то есть \(r_1 = r \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}\) см. Площадь сечения круга вычисляется по формуле \(S = \pi r_1^{2}\). Подставляя значение радиуса, получаем \(S = \pi (2 \sqrt{3})^{2} = \pi \cdot 4 \cdot 3 = 12 \pi\) квадратных сантиметров.