ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Двугранный угол правильной треугольной пирамиды при ребре основания равен \(45^\circ\), а радиус вписанной сферы — \(\sqrt{2}\) см. Эта сфера касается одной из боковых граней пирамиды в точке \(M\). Найдите длину линии пересечения данной сферы и плоскости, проходящей через точку \(M\) параллельно основанию пирамиды.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с ребром основания \(a\).

Двугранный угол при ребре основания равен \(45^\circ\), значит угол между боковой гранью и основанием равен \(45^\circ\).

Радиус вписанной сферы равен \(r = \sqrt{2}\).

Сфера касается боковой грани в точке \(M\). Плоскость, проходящая через \(M\) и параллельная основанию, пересекает сферу по кругу.

Радиус этого круга равен \(r \sin 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\).

Длина линии пересечения — длина окружности с радиусом 1, то есть \(2 \pi \cdot 1 = 2 \pi\).

Ответ: \(2 \pi\).

Правильная треугольная пирамида имеет основание в виде правильного треугольника с ребром \(a\). Двугранный угол при ребре основания равен \(45^\circ\), что означает, что угол между боковой гранью и основанием также равен \(45^\circ\). Этот угол важен, так как он задаёт наклон боковых граней относительно основания и влияет на положение вписанной сферы внутри пирамиды.

Радиус вписанной сферы равен \(r = \sqrt{2}\) см. Вписанная сфера касается всех граней пирамиды, включая основание и боковые грани. Точка касания сферы с одной из боковых граней обозначена как \(M\). Рассматриваем плоскость, проходящую через точку \(M\) и параллельную основанию пирамиды. Такая плоскость пересекает сферу по окружности, так как сечение сферы плоскостью — круг.

Радиус этой окружности определяется проекцией радиуса сферы на плоскость сечения. Так как угол между боковой гранью и основанием равен \(45^\circ\), радиус окружности сечения равен \(r \sin 45^\circ\). Подставляя значения, получаем \(r \sin 45^\circ = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1\). Следовательно, длина линии пересечения — длина окружности с радиусом 1, которая равна \(2 \pi \cdot 1 = 2 \pi\).

Ответ: \(2 \pi\).