ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(a\), а плоский угол при вершине пирамиды равен \(\alpha\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с основанием стороны \(a\) и плоским углом при вершине \(\alpha\).

Радиус вписанного шара \(r\) равен расстоянию от центра основания до плоскости, проходящей через середины ребер, и вычисляется через соотношение высоты и углов пирамиды.

Используем формулу для радиуса вписанного шара в правильную треугольную пирамиду:

\(r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \sqrt{\frac{\sqrt{3} — \tan \frac{\alpha}{2}}{\sqrt{3} + \tan \frac{\alpha}{2}}}\)

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду с основанием, представляющим собой правильный треугольник со стороной \(a\), и плоским углом при вершине \(\alpha\). Для нахождения радиуса вписанного шара необходимо определить расстояние от центра основания до плоскости, которая касается всех граней пирамиды внутри. Радиус вписанного шара равен высоте этой плоскости над основанием.

В правильной треугольной пирамиде центр основания совпадает с центром вписанной окружности основания. Расстояние от центра основания до вершины пирамиды связано с углом \(\alpha\), который задаёт наклон боковых граней. Для вычисления радиуса вписанного шара важно учесть, что плоский угол \(\alpha\) равен углу между двумя боковыми ребрами, исходящими из вершины. Половина этого угла, \(\frac{\alpha}{2}\), используется для выражения тангенса, который входит в формулу радиуса.

Используя геометрические соотношения и тригонометрические функции, получаем формулу для радиуса вписанного шара:

\(r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \sqrt{\frac{\sqrt{3} — \tan \frac{\alpha}{2}}{\sqrt{3} + \tan \frac{\alpha}{2}}}\).

Здесь числитель под корнем отражает разницу между \(\sqrt{3}\) и тангенсом половины плоского угла, а знаменатель — сумму этих же значений. Такая структура формулы показывает, что радиус вписанного шара зависит от соотношения этих величин, что связано с угловыми характеристиками пирамиды и длиной стороны основания.