ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.19 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна \(a\), а плоский угол при вершине пирамиды равен \(\alpha\). Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием квадратом со стороной \(a\) и плоским углом при вершине \(\alpha\).

Высота пирамиды связана с углом \(\alpha\) через тангенс половины угла: \( \tan \frac{\alpha}{2} \).

Радиус вписанного шара равен половине стороны основания, умноженной на корень из отношения выражений с тангенсом:

\( r = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{\frac{1 — \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan \frac{\alpha}{2}}} \)

Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание со стороной \(a\), а вершина расположена строго над центром основания. Плоский угол при вершине \(\alpha\) — это угол между двумя соседними боковыми рёбрами, исходящими из вершины. Чтобы найти радиус вписанного шара \(r\), нужно понять, как связаны все элементы пирамиды: высота, сторона основания и угол \(\alpha\).

Для начала рассмотрим основание — квадрат со стороной \(a\). Вписанная окружность в квадрат имеет радиус, равный половине стороны, то есть \( \frac{a}{2} \). Вершина пирамиды находится на высоте \(h\) над центром основания. Плоский угол \(\alpha\) при вершине связан с расположением боковых рёбер. Если провести два соседних боковых ребра, они образуют угол \(\alpha\). Половина этого угла, \( \frac{\alpha}{2} \), помогает связать высоту \(h\) и сторону основания через тригонометрические функции, в частности через тангенс.

Используя геометрические свойства пирамиды, можно вывести формулу для радиуса вписанного шара. Он равен произведению половины стороны основания на корень из дроби, где в числителе стоит выражение \(1 — \tan \frac{\alpha}{2}\), а в знаменателе — \(1 + \tan \frac{\alpha}{2}\). Таким образом, окончательная формула для радиуса вписанного шара записывается как \( r = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{\frac{1 — \tan \frac{\alpha}{2}}{1 + \tan \frac{\alpha}{2}}} \).