ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильную шестиугольную призму вписан шар, радиус которого равен \(R\). Найдите площадь полной поверхности призмы.

Радиус вписанного шара равен \(R\).

Сторона основания правильного шестиугольника:
\(a_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).

Высота призмы равна диаметру шара:
\(h = 2R\).

Площадь основания:
\(S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = 2\sqrt{3} R^2\).

Площадь боковой поверхности:
\(S_{бок} = периметр \times высота = 6a_6 \times h = 6 \times \frac{2R}{\sqrt{3}} \times 2R = 8\sqrt{3} R^2\).

Полная площадь поверхности:
\(S_{п.п.} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \times 2\sqrt{3} R^2 + 8\sqrt{3} R^2 = 12\sqrt{3} R^2\).

Радиус вписанного шара в правильную шестиугольную призму обозначим как \(R\). Этот радиус равен расстоянию от центра основания призмы до её боковой поверхности. Поскольку основание призмы — правильный шестиугольник, вписанный круг касается всех сторон шестиугольника. Из геометрии правильного шестиугольника известно, что радиус вписанной окружности равен \(R = \frac{\sqrt{3}}{2} a_6\), где \(a_6\) — длина стороны шестиугольника. Отсюда выразим сторону основания: \(a_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).

Высота призмы равна диаметру вписанного шара, так как шар касается и основания, и верхней грани призмы. Следовательно, высота призмы \(h = 2R\). Теперь вычислим площади различных частей призмы. Площадь правильного шестиугольника с длиной стороны \(a_6\) равна \(S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a_6^2\). Подставим выражение для \(a_6\):
\(S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3} R^2\).

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту. Периметр правильного шестиугольника — это шесть сторон, то есть \(P = 6 a_6\). Подставляя значения, получаем:
\(S_{бок} = P \times h = 6 \times \frac{2R}{\sqrt{3}} \times 2R = \frac{24 R^2}{\sqrt{3}} = 8 \sqrt{3} R^2\).

Полная площадь поверхности правильной шестиугольной призмы — это сумма удвоенной площади основания и площади боковой поверхности:
\(S_{п.п.} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \times 2\sqrt{3} R^2 + 8 \sqrt{3} R^2 = 4 \sqrt{3} R^2 + 8 \sqrt{3} R^2 = 12 \sqrt{3} R^2\).