ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.20 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что если центр шара, описанного около правильной треугольной пирамиды, и центр вписанного в неё шара совпадают, то данная пирамида является правильным тетраэдром.

Пусть \(O\) — центр описанного шара, \(I\) — центр вписанного шара пирамиды \(ABCD\) с основанием \(ABC\) — правильным треугольником.

Если \(O = I\), то точка, равноудалённая от всех вершин, совпадает с точкой, равноудалённой от всех граней.

Равенство этих центров возможно только при полной симметрии пирамиды, то есть при равенстве всех рёбер.

Следовательно, все боковые рёбра равны стороне основания, и пирамида является правильным тетраэдром.

Пусть \(ABCD\) — треугольная пирамида с основанием \(ABC\), где \(ABC\) — правильный треугольник. Обозначим \(O\) центр описанного шара, а \(I\) центр вписанного шара. Центр описанного шара \(O\) равномерно удалён от всех вершин пирамиды, то есть выполняется равенство \(OA = OB = OC = OD\). Центр вписанного шара \(I\) равноудалён от всех граней, то есть расстояния от \(I\) до плоскостей граней одинаковы. Если \(O = I\), то одна точка одновременно является центром, равноудалённым и от вершин, и от граней.

Такое совпадение центров возможно только при высокой степени симметрии пирамиды. Основание — правильный треугольник, значит \(O\) лежит на оси симметрии, проходящей через центр основания и вершину \(D\). Центр вписанного шара \(I\), как точка, равноудалённая от граней, смещается в сторону граней с меньшими углами или длинами рёбер, если пирамида несимметрична. Совпадение \(O\) и \(I\) требует равенства боковых рёбер с ребрами основания, чтобы симметрия была полной.

Таким образом, все рёбра пирамиды равны, то есть \(AB = BC = AC = AD = BD = CD\). Это определение правильного тетраэдра. Следовательно, если центр описанного шара и центр вписанного шара совпадают, пирамида является правильным тетраэдром.