ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.21 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Треугольник \(ABC\) является основанием пирамиды \(DABC\), \(AB = BC = DB = a\), \(\angle ABC = 90^\circ\), \(DB \perp ABC\). Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

В треугольнике \(ABC\) с \(AB=BC=a\) и углом \(90^\circ\) сторона \(AC=a \sqrt{2}\). Высота пирамиды \(DB=a\) перпендикулярна основанию. Площадь основания \(S_{ABC} = \frac{a^2}{2}\). Площади боковых граней: \(S_{DAB} = \frac{a^2}{2}\), \(S_{DBC} = \frac{a^2}{2}\), \(S_{DAC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\).

Площадь полной поверхности \(S = \frac{a^2 (3 + \sqrt{3})}{2}\). Объём пирамиды \(V = \frac{a^3}{6}\).

Радиус вписанной сферы \(r = \frac{3V}{S} = \frac{a}{3 + \sqrt{3}} = \frac{a (3 — \sqrt{3})}{6}\).

В основании пирамиды \(ABC\) треугольник с прямым углом в вершине \(B\), где \(AB = BC = a\). По теореме Пифагора длина гипотенузы \(AC\) равна \(a \sqrt{2}\), так как \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a \sqrt{2}\). Высота пирамиды \(DB\) равна \(a\) и перпендикулярна плоскости основания, что важно для вычисления объёма и площади боковых граней.

Площадь основания \(ABC\) равна половине произведения катетов, то есть \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}\). Боковые грани \(DAB\) и \(DBC\) являются прямоугольными треугольниками с катетами длиной \(a\), поэтому их площади равны \(S_{DAB} = S_{DBC} = \frac{a^2}{2}\). Для вычисления площади грани \(DAC\) необходимо найти длину стороны \(DC\) и высоту из точки \(D\) на сторону \(AC\). Координаты точек позволяют определить \(DC = a \sqrt{2}\). Высота из \(D\) на \(AC\) вычисляется через векторное произведение и равна \(a \sqrt{\frac{3}{2}}\).

Площадь треугольника \(DAC\) равна половине произведения основания на высоту: \(S_{DAC} = \frac{1}{2} \times DC \times h = \frac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times a \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}\). Полная площадь поверхности пирамиды получается суммой площадей основания и трёх боковых граней: \(S = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 (3 + \sqrt{3})}{2}\).

Объём пирамиды рассчитывается по формуле \(V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times DB = \frac{1}{3} \times \frac{a^2}{2} \times a = \frac{a^3}{6}\). Радиус вписанной сферы определяется как отношение трёх объёмов к полной площади поверхности: \(r = \frac{3V}{S} = \frac{3 \times \frac{a^3}{6}}{\frac{a^2 (3 + \sqrt{3})}{2}} = \frac{a}{3 + \sqrt{3}}\). Рационализируя знаменатель, получаем \(r = \frac{a (3 — \sqrt{3})}{6}\).