ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.22 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Около шара описана правильная треугольная усечённая пирамида, стороны оснований которой равны 6 см и 12 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычисляется по формуле
\( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l \),
где \( P_1 \) и \( P_2 \) — периметры нижнего и верхнего оснований, \( l \) — образующая.

Периметры оснований:
\( P_1 = 3 \times 6 = 18 \) см,
\( P_2 = 3 \times 12 = 36 \) см.

Длина образующей:
\( r_1 = \frac{6}{2 \sqrt{3}} = \sqrt{3} \),
\( r_2 = \frac{12}{2 \sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} \),
\( l = r_1 + r_2 = 3 \sqrt{3} \) см.

Подставляем в формулу площади:
\( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (18 + 36) \cdot 3 \sqrt{3} = 81 \sqrt{3} \) см².

Для вычисления площади боковой поверхности усечённой треугольной пирамиды необходимо сначала понять структуру фигуры. У нас есть две равносторонние треугольные основания с длинами сторон 6 см и 12 см. Поскольку основания подобны, их периметры вычисляются умножением длины стороны на количество сторон, то есть \( P_1 = 3 \times 6 = 18 \) см для нижнего основания и \( P_2 = 3 \times 12 = 36 \) см для верхнего. Эти периметры нужны для определения общей длины боковых граней.

Длина образующей боковой поверхности — это расстояние между соответствующими вершинами верхнего и нижнего оснований по боковой поверхности. Для правильной треугольной пирамиды образующая связана с радиусами вписанных окружностей оснований. Вписанный радиус равностороннего треугольника с длиной стороны \( a \) вычисляется по формуле \( r = \frac{a}{2 \sqrt{3}} \). Для нижнего основания получаем \( r_1 = \frac{6}{2 \sqrt{3}} = \sqrt{3} \) см, для верхнего — \( r_2 = \frac{12}{2 \sqrt{3}} = 2 \sqrt{3} \) см. Длина образующей равна сумме этих радиусов: \( l = r_1 + r_2 = 3 \sqrt{3} \) см.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды находится по формуле \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l \). Подставляя значения, получаем \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (18 + 36) \cdot 3 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 54 \times 3 \sqrt{3} = 81 \sqrt{3} \) см². Таким образом, площадь боковой поверхности равна \( 81 \sqrt{3} \) квадратных сантиметров.