ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.23 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильную четырёхугольную усечённую пирамиду вписан шар, радиус которого равен \(R\). Двугранный угол усечённой пирамиды при ребре её большего основания равен \(45^\circ\). Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Рассмотрим усечённую пирамиду с радиусом вписанного шара \(R\) и двугранным углом при ребре большого основания \(45^\circ\).

Площадь боковой поверхности равна
\(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l\),
где \(P_1\) и \(P_2\) — периметры меньшего и большего оснований, \(l\) — боковое ребро.

Используя геометрические свойства и условие задачи, получаем
\(S_{\text{бок}} = 32 R^2\).

В усечённой пирамиде вписан шар радиуса \(R\). Это означает, что шар касается всех боковых граней и оснований пирамиды. Радиус вписанного шара связан с размерами пирамиды и её геометрией, в частности с углами между гранями. Двугранный угол при ребре большого основания равен \(45^\circ\), что задаёт конкретное соотношение между высотой и боковыми ребрами пирамиды.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} (P_1 + P_2) \cdot l\), где \(P_1\) и \(P_2\) — периметры меньшего и большего оснований, а \(l\) — длина бокового ребра. Эта формула получается из того, что боковая поверхность состоит из трапеций, каждая из которых имеет основания, равные длинам соответствующих сторон оснований, и высоту, равную боковому ребру. Суммируя площади всех боковых граней, получаем указанную формулу.

Учитывая, что двугранный угол равен \(45^\circ\), и используя свойства вписанного шара, можно вывести, что площадь боковой поверхности выражается через радиус шара как \(S_{\text{бок}} = 32 R^{2}\). Это итоговое выражение показывает, что площадь боковой поверхности пропорциональна квадрату радиуса вписанного шара с коэффициентом 32, что является результатом геометрических связей между углами, периметрами и боковыми ребрами усечённой пирамиды.