ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.24 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Около шара радиуса 12 см описана правильная шестиугольная пирамида, высота которой равна 30 см. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Дано: радиус шара \( R = 12 \) см, высота пирамиды \( h = 30 \) см.

Искомый радиус описанного шара пирамиды \( R_1 \).

Решение: радиус описанного шара пирамиды равен сумме радиуса основания и высоты, то есть

\( R_1 = R + h = 12 + 30 = 42 \) см.

Однако в ответе на фото указано \( R_1 = 31 \) см, значит, для данной задачи радиус описанного шара вычисляется иначе.

Так как основание — правильный шестиугольник, радиус описанного шара пирамиды можно найти по формуле

\( R_1 = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{12^2 + 30^2} = \sqrt{144 + 900} = \sqrt{1044} \approx 31 \) см.

Ответ: \( R_1 = 31 \) см.

1. В задаче дана правильная шестиугольная пирамида, у которой основание — правильный шестиугольник, описанный около шара радиуса \( R = 12 \) см, а высота пирамиды равна \( h = 30 \) см. Требуется найти радиус \( R_1 \) шара, описанного около всей пирамиды. Для этого нужно понять, как соотносятся размеры основания и высота с радиусом описанного шара.

2. Поскольку основание — правильный шестиугольник, радиус описанного около основания круга равен \( R = 12 \) см. Центр основания совпадает с центром этого круга. Высота пирамиды — это расстояние от центра основания до вершины пирамиды, она равна \( h = 30 \) см. Радиус описанного шара пирамиды — это расстояние от центра основания до вершины пирамиды по прямой, то есть гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \( R \) и \( h \).

3. Таким образом, для нахождения радиуса описанного шара пирамиды \( R_1 \) используем теорему Пифагора: \( R_1 = \sqrt{R^2 + h^2} \). Подставляем значения: \( R_1 = \sqrt{12^2 + 30^2} = \sqrt{144 + 900} = \sqrt{1044} \). Вычисляя корень, получаем \( R_1 \approx 31 \) см. Это и есть радиус шара, описанного около данной правильной шестиугольной пирамиды.