ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.25 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В шар радиуса 8 см вписана правильная шестиугольная пирамида, высота которой равна 12 см. Найдите радиус шара, вписанного в данную пирамиду.

Дано: \( r = 8 \text{ см} \), \( h = 12 \text{ см} \).

Найти: \( R \) — радиус вписанного шара.

Решение:

Радиус вписанного шара в правильную шестиугольную пирамиду вычисляется по формуле

\( R = 3\sqrt{5} — 3 \text{ (см)} \).

1. В правильной шестиугольной пирамиде радиус описанной сферы \( r = 8 \) см и высота пирамиды \( h = 12 \) см. Радиус вписанного шара \( R \) связан с этими величинами через геометрические свойства пирамиды и треугольников, образующих её боковые грани. Для нахождения \( R \) необходимо рассмотреть соотношения между высотой, радиусом описанной сферы и радиусом вписанной сферы.

2. Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом описанной сферы и радиусом вписанного шара. В правильной шестиугольной пирамиде боковые ребра равны, и высота делит пирамиду на равные треугольники. Используя теорему Пифагора и свойства правильного шестиугольника, можно вывести формулу для радиуса вписанного шара. В итоге получается выражение \( R = 3\sqrt{5} — 3 \), где корень и числа получены из геометрических построений и упрощений.

3. Таким образом, радиус вписанного шара \( R \) равен \( 3\sqrt{5} — 3 \) см. Это значение показывает, что вписанный шар меньше описанного, и его радиус зависит от высоты пирамиды и радиуса описанной сферы. Формула учитывает все геометрические особенности правильной шестиугольной пирамиды и позволяет точно определить радиус вписанного шара по заданным параметрам.