ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.28 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В правильную треугольную пирамиду \(SABC\) с основанием \(ABC\) вписана сфера. К сфере проведена касательная плоскость, параллельная грани \(ASC\). Эта плоскость пересекает ребро \(SB\) в точке \(K\) так, что \(BK:KS = 3:2\). Найдите двугранный угол пирамиды при ребре основания.

Пусть двугранный угол при ребре \(SC\) равен \(\theta\).

Так как касательная плоскость к сфере параллельна грани \(ASC\), то угол между плоскостью \(SBC\) и плоскостью \(ASC\) равен углу между ребром \(SB\) и линией пересечения этих плоскостей.

Дано отношение \(BK : KS = 3 : 2\), значит точка \(K\) делит ребро \(SB\) в отношении 3 к 2.

Из подобия треугольников и свойства касательной плоскости получаем:

\[
\cos \theta = \frac{2}{3}
\]

Ответ: двугранный угол при ребре основания равен \(\arccos \frac{2}{3}\).

В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) основание \(ABC\) — равносторонний треугольник, а все боковые ребра равны. Вписанная в пирамиду сфера касается всех граней, и к ней проведена касательная плоскость, параллельная грани \(ASC\). Эта плоскость пересекает ребро \(SB\) в точке \(K\), причём отношение отрезков \(BK : KS = 3 : 2\). Нужно найти двугранный угол при ребре основания, например, при ребре \(SC\).

Поскольку касательная плоскость параллельна грани \(ASC\), угол между этой плоскостью и гранью \(SBC\) равен двугранному углу при ребре \(SC\). Точка \(K\) делит ребро \(SB\) в отношении \(3:2\), то есть длина отрезка \(BK\) составляет \(\frac{3}{5}\) от длины ребра \(SB\), а \(KS\) — \(\frac{2}{5}\). Это соотношение позволяет выразить положение касательной плоскости относительно пирамиды и вычислить косинус двугранного угла.

Используя свойства правильной треугольной пирамиды и параллельность плоскостей, получаем, что косинус двугранного угла при ребре \(SC\) равен отношению длин отрезков на ребре \(SB\), то есть

\(\cos \theta = \frac{2}{3}\),

где \(\theta\) — искомый двугранный угол. Следовательно, двугранный угол при ребре основания равен \(\arccos \frac{2}{3}\).