ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.29 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Центр сферы, вписанной в четырёхугольную пирамиду, принадлежит высоте пирамиды. Докажите, что в основание пирамиды можно вписать окружность.

Пусть \( S \) — вершина пирамиды, \( ABCD \) — основание, \( O \) — центр вписанной сферы, лежащий на высоте \( SO \).

Так как сфера касается боковых граней, расстояния от \( O \) до плоскостей граней равны.

Плоскость каждой боковой грани содержит ребро основания и вершину \( S \), при этом высота \( SO \) перпендикулярна основанию.

Следовательно, расстояние от \( O \) до боковой грани равно расстоянию от \( O \) до соответствующего ребра основания.

Равенство этих расстояний для всех четырёх граней означает, что \( O \) равноудалён от всех сторон четырёхугольника \( ABCD \).

Это условие эквивалентно существованию вписанной окружности в четырёхугольник \( ABCD \) с центром в точке \( O \).

Пусть \( S \) — вершина четырёхугольной пирамиды, а \( ABCD \) — её основание. В пирамиду вписана сфера с центром \( O \), которая касается всех граней пирамиды. По условию, центр сферы лежит на высоте пирамиды, то есть на отрезке \( SO \), где \( O \) — точка пересечения высоты с плоскостью основания. Высота \( SO \) перпендикулярна плоскости основания \( ABCD \).

Поскольку сфера касается всех боковых граней, расстояния от центра сферы \( O \) до плоскостей этих граней равны и равны радиусу сферы. Каждая боковая грань — это плоскость, проходящая через вершину \( S \) и одну из сторон основания, например, грань \( SAB \) содержит ребро \( AB \). Расстояние от точки \( O \), лежащей на высоте \( SO \), до боковой грани равно расстоянию от \( O \) до соответствующего ребра основания, так как высота перпендикулярна основанию и расстояние измеряется по перпендикуляру. Таким образом, расстояния от \( O \) до всех сторон \( AB, BC, CD, DA \) равны.

Равенство расстояний от точки \( O \) до всех сторон четырёхугольника \( ABCD \) означает, что существует окружность, вписанная в этот четырёхугольник, с центром в точке \( O \). Это классическое свойство вписанной окружности: её центр равноудалён от всех сторон многоугольника. Следовательно, если центр вписанной сферы пирамиды лежит на высоте, то проекция этого центра на основание является центром вписанной окружности в основание, и в четырёхугольник \( ABCD \) можно вписать окружность.