ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, сторона основания которой равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\).

Дано: сторона основания \(a\), двугранный угол при ребре основания \(\alpha\).

Радиус вписанного шара в правильную шестиугольную пирамиду равен

\(R = \frac{1}{2} a \sqrt{3} \tan \frac{\alpha}{2}\).

1. Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду с основанием, представляющим правильный шестиугольник со стороной \(a\). Вершина пирамиды соединена с вершинами основания, образуя боковые ребра. Двугранный угол при ребре основания равен \(\alpha\). Для нахождения радиуса вписанного шара \(R\) важно понять, что этот радиус — это расстояние от центра шара до любой из граней пирамиды, при этом шар касается всех граней.

2. Центр правильного шестиугольника совпадает с точкой пересечения всех его высот и медиан. Радиус вписанной окружности основания равен \(r = \frac{a \sqrt{3}}{2}\). При этом двугранный угол \(\alpha\) задаёт наклон боковых граней относительно основания. Для вычисления \(R\) нужно учесть, что радиус вписанного шара зависит от высоты пирамиды и угла наклона граней, который выражается через тангенс половины угла \(\frac{\alpha}{2}\).

3. Формула радиуса вписанного шара получается из геометрических соотношений между стороной основания, углом наклона и расстоянием от центра основания до точки касания шара с боковой гранью. В итоге имеем выражение

\(R = \frac{1}{2} a \sqrt{3} \tan \frac{\alpha}{2}\),

где \(\frac{1}{2} a \sqrt{3}\) — радиус вписанной окружности основания, а множитель \(\tan \frac{\alpha}{2}\) учитывает наклон боковых граней пирамиды.