ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.30 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(SABCD\) является параллелограмм \(ABCD\). Известно, что в данную пирамиду можно вписать шар. Докажите, что сумма площадей граней \(ASB\) и \(CSD\) равна сумме площадей граней \(BSC\) и \(DSA\).

Так как в пирамиду можно вписать шар, точка пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов равноудалена от основания и от боковых граней.

Это означает, что расстояния от этой точки до граней \(ASB\), \(CSD\), \(BSC\) и \(DSA\) равны.

Следовательно, площади граней связаны равенством:

\(S_{ASB} + S_{CSD} = S_{BSC} + S_{DSA}\).

1. Вписанный шар в пирамиду касается всех её граней. Это возможно только тогда, когда точка касания шара с каждой гранью равноудалена от всех остальных граней. Такая точка совпадает с точкой пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов пирамиды. Поскольку основание пирамиды — параллелограмм \(ABCD\), биссекторные плоскости равномерно распределяют расстояния от вершины \(S\) к основанию и боковым граням.

2. Точка пересечения биссекторных плоскостей является центром вписанного шара, и она равноудалена от всех граней пирамиды. Это равенство расстояний означает, что сумма площадей граней, прилегающих к одной стороне основания, равна сумме площадей граней, прилегающих к противоположной стороне. В данном случае это грань \(ASB\) и грань \(CSD\) с одной стороны, и грань \(BSC\) и грань \(DSA\) с другой.

3. Из равенства расстояний и равномерного распределения углов следует формула:

\(S_{ASB} + S_{CSD} = S_{BSC} + S_{DSA}\),

где \(S_{XYZ}\) — площадь грани, образованной вершиной \(S\) и ребрами \(XY\) и \(YZ\). Это равенство показывает баланс площадей противоположных боковых граней пирамиды с вписанным шаром.