ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.31 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Докажите, что в равногранном тетраэдре центры вписанной и описанной сфер совпадают.

Равногранный тетраэдр — это правильный тетраэдр, у которого все ребра равны.

В правильном тетраэдре центр вписанной сферы \( I \) и центр описанной сферы \( O \) совпадают, так как он симметричен и одинаково удалён от всех вершин и граней.

Следовательно, для равногранного тетраэдра \( I = O \).

Равногранный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все грани равны по площади и форме, а значит, каждая грань является равносторонним треугольником. Из равенства граней следует, что все ребра тетраэдра равны между собой, то есть такой тетраэдр является правильным. В правильном тетраэдре все стороны, все углы и все грани равны, а также существует высокая степень симметрии.

Центр вписанной сферы \( I \) — это точка, равноудалённая от всех граней, то есть расстояния от \( I \) до плоскостей граней одинаковы. Центр описанной сферы \( O \) — это точка, равноудалённая от всех вершин \( A, B, C, D \), то есть расстояния от \( O \) до вершин одинаковы. В правильном тетраэдре из-за его симметрии центр масс совпадает с точками, которые равномерно удалены и от граней, и от вершин, следовательно, \( I = O \).

Таким образом, равногранный тетраэдр, будучи правильным, обладает свойством совпадения центра вписанной и описанной сфер. Это происходит из-за равенства всех ребер и граней, что приводит к совпадению точек, равноудалённых от граней и вершин. То есть в равногранном тетраэдре центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, что и требовалось доказать.