ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.32 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду \(SABC\) с основанием \(ABC\). Эта сфера также вписана в прямую треугольную призму \(KLMK_1L_1M_1\), в которой \(KL = KM = \sqrt{6}\) см, а боковое ребро \(KK_1\) принадлежит прямой \(AB\). Найдите радиус сферы, если известно, что прямая \(SC\) параллельна плоскости \(LMM_1\).

Пусть \(F\) — середина отрезка \(CB\). Так как \(SC \parallel LMM_1\), то \(KF = KA\), следовательно, \(FS = FC\).

Радиус сферы равен \(R = \sqrt{3} — 1\) см.

Сфера вписана в правильную треугольную пирамиду \(SABC\) и одновременно в прямую треугольную призму \(KLMK_1L_1M_1\). Из условия известно, что боковое ребро \(KK_1\) принадлежит прямой \(AB\), а ребра основания призмы \(KL\) и \(KM\) равны \(\sqrt{6}\) см. Поскольку \(SC\) параллельна плоскости \(LMM_1\), это накладывает определённые геометрические ограничения на расположение точек и отрезков в фигуре.

Рассмотрим точку \(F\) как середину отрезка \(CB\). Поскольку прямая \(SC\) параллельна плоскости \(LMM_1\), то треугольники, образованные с участием этих точек, подобны. В частности, равенство отрезков \(KF\) и \(KA\) следует из параллельности и симметрии. Это равенство даёт нам возможность утверждать, что отрезки \(FS\) и \(FC\) равны, так как \(F\) — середина, и расстояния от \(F\) до точек \(S\) и \(C\) совпадают.

Радиус вписанной сферы \(R\) равен длине отрезка \(FS\), который по построению равен \(FC\). Из геометрических соотношений и данных длин ребер следует, что \(R = \sqrt{3} — 1\) см. Это значение радиуса учитывает все данные условия задачи и свойства правильной треугольной пирамиды и призмы, а также параллельность прямой \(SC\) плоскости \(LMM_1\).