ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.33 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите площадь параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, причём одна из них перпендикулярна стороне.

Рассмотрим треугольник \(AOD\), где \(AO = 10\), \(OD = 8\), угол прямой. По теореме Пифагора:

\(AO^2 = AB^2 + BO^2\)

Подставляем данные:

\(100 = AB^2 + 64\)

Вычисляем:

\(AB^2 = 36 \Rightarrow AB = 6\) (см)

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

\(S = AB \cdot BD = 6 \cdot 16 = 96\) (см²)

Рассмотрим треугольник \(AOD\), в котором угол \(O\) прямой. Из условия известно, что ребро \(AO\) равно 10 см, а ребро \(OD\) равно 8 см. Для нахождения длины отрезка \(AB\), который является катетом в этом прямоугольном треугольнике, применим теорему Пифагора. Теорема гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данном случае гипотенузой является \(AO\), а катетами — \(AB\) и \(BO\).

Запишем уравнение по теореме Пифагора: \(AO^{2} = AB^{2} + BO^{2}\). Подставим известные значения: \(10^{2} = AB^{2} + 8^{2}\), то есть \(100 = AB^{2} + 64\). Выразим \(AB^{2}\): \(AB^{2} = 100 — 64 = 36\). Извлекая квадратный корень, получаем \(AB = 6\) см. Таким образом, длина отрезка \(AB\) равна 6 см.

Далее найдем площадь параллелограмма \(ABCD\). Площадь параллелограмма вычисляется как произведение основания на высоту. В данном случае основание — отрезок \(AB\), а высота — отрезок \(BD\), который равен 16 см. Тогда площадь равна \(S = AB \cdot BD = 6 \cdot 16 = 96\) см². Это и есть искомая площадь параллелограмма.