ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.34 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота ромба равна 12 см, а меньшая диагональ — 15 см. Найдите площадь ромба.

Дано: высота ромба \(h = 12\) см, меньшая диагональ \(d_2 = 15\) см.

Площадь ромба через диагонали вычисляется по формуле \(S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\).

Сторона ромба равна \(a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}\).

Площадь также равна \(S = a \cdot h\).

Приравниваем: \(a \cdot h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\).

Подставляем \(a\) и известные значения: \(\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2} \cdot 12 = \frac{d_1 \cdot 15}{2}\).

Обозначаем \(x = \frac{d_1}{2}\), получаем уравнение: \(\sqrt{x^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2} \cdot 12 = 15x\).

Возводим в квадрат: \(144 \left(x^2 + \frac{225}{4}\right) = 225 x^2\).

Раскрываем скобки: \(144 x^2 + 8100 = 225 x^2\).

Переносим: \(8100 = 81 x^2\).

Находим \(x^2 = 100\), значит \(x = 10\).

Тогда \(d_1 = 2x = 20\) см.

Площадь ромба: \(S = \frac{20 \cdot 15}{2} = 150\) см².

Ромб — это параллелограмм с равными сторонами, у которого диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. В задаче даны высота ромба \(h = 12\) см и меньшая диагональ \(d_2 = 15\) см. Для нахождения площади ромба можно использовать две формулы: первая выражает площадь через диагонали, вторая — через сторону и высоту. Площадь ромба через диагонали равна \(S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\), где \(d_1\) — большая диагональ, а \(d_2\) — меньшая. Площадь через сторону и высоту записывается как \(S = a \cdot h\), где \(a\) — длина стороны ромба.

Для вычисления стороны ромба воспользуемся свойством диагоналей: они пересекаются под прямым углом и делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. Сторона ромба является гипотенузой такого треугольника, а половины диагоналей — его катетами. Значит, длина стороны равна \(a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}\). Подставляя эту формулу в выражение для площади через сторону и высоту, получаем уравнение \(a \cdot h = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\). Подставим \(a\) и известные значения: \(\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2} \cdot 12 = \frac{d_1 \cdot 15}{2}\).

Обозначим \(x = \frac{d_1}{2}\), чтобы упростить выражение. Тогда уравнение примет вид \(\sqrt{x^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2} \cdot 12 = 15x\). Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: \(144 \left(x^2 + \frac{225}{4}\right) = 225 x^2\). Раскроем скобки: \(144 x^2 + 144 \cdot \frac{225}{4} = 225 x^2\), что упрощается до \(144 x^2 + 8100 = 225 x^2\). Переносим все члены с \(x^2\) в одну сторону: \(8100 = 225 x^2 — 144 x^2 = 81 x^2\), откуда \(x^2 = \frac{8100}{81} = 100\), значит \(x = 10\).

Теперь найдём большую диагональ: \(d_1 = 2x = 20\) см. Подставим значения диагоналей в формулу площади: \(S = \frac{20 \cdot 15}{2} = \frac{300}{2} = 150\) см². Таким образом, площадь ромба равна 150 квадратных сантиметров.