ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, сторона основания которой равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием стороны \(a\) и двугранным углом \(\alpha\) при ребре основания. Радиус вписанного шара равен расстоянию от центра основания до боковой грани.

Так как двугранный угол равен \(\alpha\), то расстояние от центра основания до боковой грани можно выразить через половину стороны основания \(\frac{a}{2}\) и угол \(\frac{\alpha}{2}\).

Используя тригонометрию, получаем формулу для радиуса вписанного шара: \(R = \frac{a}{2} \cot \frac{\alpha}{2}\).

1. Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием — квадратом со стороной \(a\). Для нахождения радиуса вписанного шара \(R\) важно понять, что шар касается всех граней пирамиды, а значит центр шара находится на равном расстоянии от всех граней. В правильной пирамиде все боковые грани равны и симметрично расположены, поэтому задача сводится к нахождению расстояния от центра основания до боковой грани с учётом двугранного угла при ребре основания.

2. Двугранный угол \(\alpha\) при ребре основания — это угол между двумя смежными боковыми гранями пирамиды. Чтобы выразить радиус вписанного шара через этот угол и сторону основания, нужно вспомнить, что радиус вписанного шара равен расстоянию от центра основания до плоскости боковой грани, то есть высоте перпендикуляра, опущенного из центра основания на боковую грань. Этот перпендикуляр образует угол \(\frac{\alpha}{2}\) с ребром основания. Тогда радиус можно выразить через сторону \(a\) и угол \(\alpha\) с помощью тригонометрической функции котангенса.

3. Итоговая формула получается такой: \(R = \frac{a}{2} \cot \frac{\alpha}{2}\). Здесь \(\frac{a}{2}\) — половина стороны основания, которая является длиной ребра основания, а \(\cot \frac{\alpha}{2}\) — котангенс половины двугранного угла при ребре основания. Эта формула показывает, что радиус вписанного шара напрямую зависит от размера основания и угла между боковыми гранями, что полностью соответствует геометрии правильной четырёхугольной пирамиды.