ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, сторона основания которой равна \(a\), а двугранный угол пирамиды при ребре основания равен \(\alpha\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием стороны \(a\) и двугранным углом при ребре основания \(\alpha\).

Высота пирамиды проходит через центр основания и образует с боковой гранью угол \(\frac{\alpha}{2}\).

Радиус вписанной сферы равен расстоянию от центра основания до точки касания сферы с боковой гранью, что равно половине стороны основания, умноженной на тангенс угла \(\frac{\alpha}{2}\).

Таким образом, радиус вписанной сферы равен \(r = \frac{1}{2} a \tan \frac{\alpha}{2}\).

1. Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с основанием квадратной формы со стороной \(a\). В этой пирамиде все боковые ребра равны, а боковые грани — равнобедренные треугольники. Двугранный угол \(\alpha\) — это угол между двумя смежными боковыми гранями, который измеряется вдоль ребра основания. Чтобы найти радиус вписанной сферы, нужно определить расстояние от центра основания до точки касания сферы с боковой гранью.

2. Высота пирамиды опускается из вершины перпендикулярно к основанию и проходит через центр квадрата. При этом высота образует с боковой гранью угол, равный половине двугранного угла, то есть \(\frac{\alpha}{2}\). Рассмотрим треугольник, образованный высотой, половиной стороны основания \(\frac{a}{2}\) и отрезком, соединяющим центр основания с точкой касания сферы. В этом треугольнике угол при основании равен \(\frac{\alpha}{2}\), а искомое расстояние — это катет, противолежащий этому углу.

3. По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к прилежащему равно тангенсу угла. Здесь радиус вписанной сферы \(r\) равен половине стороны основания, умноженной на тангенс половины двугранного угла, то есть \(r = \frac{a}{2} \tan \frac{\alpha}{2}\). Эта формула учитывает геометрические свойства пирамиды и позволяет точно вычислить радиус вписанной сферы через известные параметры \(a\) и \(\alpha\).