ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и противолежащим ему углом \(\alpha\). Найдите радиус шара, вписанного в данную призму.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и углом \(\alpha\). Радиус вписанного круга в этот треугольник равен радиусу вписанного шара в призму.

Радиус вписанного круга вычисляется по формуле \(r = \frac{a \cdot \cot \alpha}{1 + \cot \frac{\alpha}{2}}\), где \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) и \(\cot \frac{\alpha}{2}\) — котангенс половинного угла.

Таким образом, радиус вписанного шара равен \(r = \frac{a \cdot \cot \alpha}{1 + \cot \frac{\alpha}{2}}\).

Основание призмы представляет собой прямоугольный треугольник с катетом \(a\) и противолежащим ему углом \(\alpha\). Вписанный шар в призму касается всех её граней, включая основание. Радиус вписанного шара равен радиусу вписанного круга треугольника основания, если высота призмы достаточна для касания боковых граней. Для нахождения радиуса вписанного круга используем свойства треугольника и тригонометрию.

Рассмотрим треугольник с катетом \(a\) и углом \(\alpha\). Катангенс угла \(\alpha\) равен \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\). Радиус вписанного круга в прямоугольный треугольник можно выразить через катет и углы по формуле: \(r = \frac{a \cdot \cot \alpha}{1 + \cot \frac{\alpha}{2}}\). Здесь \(\cot \frac{\alpha}{2}\) — котангенс половинного угла, который учитывает геометрию треугольника и положение центра вписанного круга.

Таким образом, радиус вписанного шара равен \(r = \frac{a \cdot \cot \alpha}{1 + \cot \frac{\alpha}{2}}\). Эта формула учитывает длину катета \(a\) и углы треугольника, позволяя точно определить радиус шара, касающегося всех граней призмы. Именно эта величина является искомым радиусом вписанного шара.