ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведённая к его основанию, равна \(h\) и образует с боковой стороной треугольника угол \(\alpha\). Найдите высоту призмы, если известно, что в эту призму можно вписать шар.

Основание призмы — равнобедренный треугольник с высотой \(h\), проведённой к основанию, которая образует с боковой стороной угол \(\alpha\).

Высота призмы \(H\) равна удвоенному произведению \(h\), тангенса угла \(\alpha\) и тангенса разности \(45^\circ\) и половины угла \(\alpha\).

Формула для высоты призмы: \(H = 2h \tan \alpha \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{2}\right)\).

Основание призмы — равнобедренный треугольник, у которого высота \(h\), проведённая к основанию, образует угол \(\alpha\) с боковой стороной. Эта высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Для того чтобы в призму можно было вписать шар, высота призмы \(H\) должна удовлетворять условию касания шара со всеми гранями, включая основание и боковые стороны.

Рассмотрим геометрию основания. Высота \(h\) является катетом прямоугольного треугольника, а боковая сторона образует с ней угол \(\alpha\). Тогда длина боковой стороны равна \( \frac{h}{\cos \alpha} \), а половина основания — \( h \tan \alpha \). Вписанный шар касается основания и боковых граней призмы, что накладывает связь между высотой призмы и углами треугольника.

Для вычисления высоты призмы \(H\) учитываем, что радиус вписанного шара зависит от углов основания и высоты треугольника. Высота призмы равна удвоенному произведению \(h\), тангенса угла \(\alpha\) и тангенса разности \(45^\circ\) и половины угла \(\alpha\), то есть \(H = 2h \tan \alpha \tan \left(45^\circ — \frac{\alpha}{2}\right)\). Эта формула учитывает геометрические свойства основания и условия касания шара с гранями призмы.