ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 15.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Основанием прямой призмы, в которую вписан шар, является ромб с острым углом \(\alpha\). Найдите угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью её основания.

Угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью основания равен углу между этой диагональю и её проекцией на плоскость основания.

Пусть угол в основании ромба равен \(\alpha\). Тогда меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол

\[
\theta = \arctan(\cos \frac{\alpha}{2})
\]

Ответ: угол между меньшей диагональю и плоскостью основания равен \(\theta = \arctan(\cos \frac{\alpha}{2})\).

1. Рассмотрим прямую призму, основанием которой является ромб с острым углом \(\alpha\). В такой призме меньшая диагональ основания — это диагональ, которая делит угол \(\alpha\) пополам. Чтобы найти угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью её основания, нужно понять, как эта диагональ расположена в пространстве относительно основания. Диагональ лежит в плоскости, проходящей через призму, и образует некоторый угол с плоскостью основания.

2. Угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её проекцией на плоскость. Проекция меньшей диагонали на плоскость основания совпадает с её следом в основании, то есть с самой диагональю ромба. Для ромба с углом \(\alpha\) меньшая диагональ делит угол \(\alpha\) пополам, и длина этой диагонали связана с углом \(\alpha\). Из геометрии ромба известно, что длина меньшей диагонали пропорциональна \(2a \sin \frac{\alpha}{2}\), где \(a\) — сторона ромба.

3. В призме меньшая диагональ идёт не только в горизонтальном направлении, но и имеет вертикальную составляющую, равную высоте призмы. Тогда угол между меньшей диагональю и плоскостью основания можно найти через отношение вертикальной и горизонтальной составляющих. Этот угол равен \(\theta = \arctan (\cos \frac{\alpha}{2})\), так как вертикальная составляющая соотносится с горизонтальной через косинус половины угла \(\alpha\). Таким образом, ответ: угол между меньшей диагональю призмы и плоскостью основания равен \(\theta = \arctan (\cos \frac{\alpha}{2})\).