ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус основания цилиндра равен 4 см, а его высота — 15 см. Найдите радиус шара, описанного около данного цилиндра.

Дано: радиус основания цилиндра \(n = 4\, \text{см}\), высота цилиндра \(h = 15\, \text{см}\).

Радиус описанного шара \(R\) равен гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами \(\frac{h}{2}\) и \(n\), поэтому
\(R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + n^2\).

Подставляем значения:
\(R = \sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2 + 4^2} = \sqrt{\frac{225}{4} + 16} = \sqrt{\frac{225}{4} + \frac{64}{4}} = \sqrt{\frac{289}{4}} = \frac{17}{2}\, \text{см}\).

Ответ: \(R = \frac{17}{2}\, \text{см}\).

Дано, что радиус основания цилиндра равен \(n = 4\, \text{см}\), а высота цилиндра \(h = 15\, \text{см}\). Нужно найти радиус \(R\) шара, который описан около этого цилиндра. Для начала важно понять, что описанный шар касается всех точек цилиндра, и его радиус равен расстоянию от центра шара до любой точки на поверхности цилиндра, включая основание и верх.

Цилиндр можно представить как фигуру с круглым основанием радиуса \(n\) и высотой \(h\). Центр описанного шара будет находиться посередине высоты цилиндра, то есть на расстоянии \(\frac{h}{2}\) от основания, так как шар должен симметрично охватывать цилиндр. При этом радиус шара будет равен длине отрезка, соединяющего центр основания цилиндра с точкой на круге основания, и одновременно с верхней частью цилиндра. Этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника, где один катет равен радиусу основания цилиндра \(n\), а другой — половине высоты цилиндра \(\frac{h}{2}\).

Чтобы найти радиус \(R\) шара, используем теорему Пифагора:
\(R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + n^2\).
Подставляем известные значения:
\(R = \sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2 + 4^2} = \sqrt{\frac{225}{4} + 16} = \sqrt{\frac{225}{4} + \frac{64}{4}} = \sqrt{\frac{289}{4}} = \frac{17}{2}\, \text{см}\).
Таким образом, радиус описанного шара равен \(\frac{17}{2}\) сантиметров.