ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, описанного около усечённого конуса, если радиусы оснований конуса равны 5 см и 8 см, а его высота — 9 см.

Дано: радиусы оснований \(r_1 = 5\) см, \(r_2 = 8\) см, высота \(h = 9\) см. Нужно найти радиус \(R\) описанного шара.

Обозначим расстояния от центра шара до оснований: \(OO_1 = \sqrt{R^2 — 25}\), \(OO_2 = \sqrt{R^2 — 64}\).

Из условия \(OO_1 + OO_2 = h\), то есть \(\sqrt{R^2 — 25} + \sqrt{R^2 — 64} = 9\).

Возводим в квадрат:

\((\sqrt{R^2 — 25} + \sqrt{R^2 — 64})^2 = 81\), что даёт \(R^2 — 25 + 2\sqrt{(R^2 — 25)(R^2 — 64)} + R^2 — 64 = 81\).

Собираем подобные:

\(2R^2 — 89 + 2\sqrt{(R^2 — 25)(R^2 — 64)} = 81\).

Переносим числа:

\(2\sqrt{(R^2 — 25)(R^2 — 64)} = 170 — 2R^2\),

откуда

\(\sqrt{(R^2 — 25)(R^2 — 64)} = 85 — R^2\).

Возводим в квадрат ещё раз:

\((R^2 — 25)(R^2 — 64) = (85 — R^2)^2\).

Раскрываем скобки:

\(R^4 — 64R^2 — 25R^2 + 1600 = R^4 — 170R^2 + 7225\).

Упрощаем: \(-89R^2 + 1600 = -170R^2 + 7225\),

откуда \(81R^2 = 5625\), и \(R^2 = \frac{5625}{81} = \left(\frac{25}{3}\right)^2\).

Значит, радиус описанного шара

\(R = \frac{25}{3}\) см.

Усечённый конус имеет два основания с радиусами \(r_1 = 5\) см и \(r_2 = 8\) см, а высота усечённого конуса равна \(h = 9\) см. Требуется найти радиус \(R\) шара, который описан около этого усечённого конуса. Для этого рассмотрим центр шара и его расстояния до оснований усечённого конуса.

Обозначим расстояния от центра шара до плоскостей оснований усечённого конуса как \(OO_1\) и \(OO_2\). Так как шар касается оснований, эти расстояния связаны с радиусом шара и радиусами оснований через теорему Пифагора: \(OO_1 = \sqrt{R^2 — r_1^2} = \sqrt{R^2 — 25}\) и \(OO_2 = \sqrt{R^2 — r_2^2} = \sqrt{R^2 — 64}\). Поскольку высота усечённого конуса равна расстоянию между основаниями, то сумма этих расстояний равна высоте: \(OO_1 + OO_2 = h\), то есть \(\sqrt{R^2 — 25} + \sqrt{R^2 — 64} = 9\).

Для решения уравнения возведём обе части в квадрат: \((\sqrt{R^2 — 25} + \sqrt{R^2 — 64})^2 = 9^2\), что даёт \(R^2 — 25 + 2\sqrt{(R^2 — 25)(R^2 — 64)} + R^2 — 64 = 81\). Объединим подобные слагаемые: \(2R^2 — 89 + 2\sqrt{(R^2 — 25)(R^2 — 64)} = 81\). Переносим числа на правую сторону: \(2\sqrt{(R^2 — 25)(R^2 — 64)} = 170 — 2R^2\), откуда \(\sqrt{(R^2 — 25)(R^2 — 64)} = 85 — R^2\).

Повторно возводим в квадрат: \((R^2 — 25)(R^2 — 64) = (85 — R^2)^2\). Раскрываем скобки слева: \(R^{4} — 64R^{2} — 25R^{2} + 1600 = R^{4} — 170R^{2} + 7225\). Упрощаем левую часть: \(R^{4} — 89R^{2} + 1600 = R^{4} — 170R^{2} + 7225\). Сокращаем \(R^{4}\) с обеих сторон и переносим все на одну сторону: \(-89R^{2} + 1600 = -170R^{2} + 7225\), что эквивалентно \(81R^{2} = 5625\). Делим обе части на 81: \(R^{2} = \frac{5625}{81} = \left(\frac{25}{3}\right)^{2}\). Следовательно, радиус описанного шара равен \(R = \frac{25}{3}\) см.