ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образующая усечённого конуса равна \(2\sqrt{3}\) см, а радиус меньшего основания — \(\sqrt{3}\) см. Найдите радиус сферы, описанной около данного усечённого конуса, если угол между его образующей и большим основанием равен \(60^\circ\).

Рассмотрим усечённый конус с образующей \(l = 2\sqrt{3}\) см и радиусом меньшего основания \(r = \sqrt{3}\) см. Угол между образующей и большим основанием равен \(60^\circ\).

Радиус большого основания вычисляем по формуле \(R = l \cos 60^\circ = 2\sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \sqrt{3}\) см.

Для описанной сферы радиус \(R_{\text{сферы}}\) равен расстоянию от центра основания до вершины, что по условию и вычислению даёт \(R_{\text{сферы}}^2 = 12\).

Следовательно, радиус сферы равен \(R_{\text{сферы}} = 2\sqrt{3}\) см.

Усечённый конус задан образующей длиной \(l = 2\sqrt{3}\) см, радиусом меньшего основания \(r = \sqrt{3}\) см и углом между образующей и плоскостью большого основания, равным \(60^\circ\). Для начала найдём радиус большого основания. Из определения угла между образующей и большим основанием следует, что косинус этого угла равен отношению радиуса большого основания к длине образующей, то есть \( \cos 60^\circ = \frac{R}{l} \). Подставляя известные значения, получаем \( \frac{1}{2} = \frac{R}{2\sqrt{3}} \), откуда \( R = \sqrt{3} \) см.

Теперь у нас есть радиусы обоих оснований: меньшее \(r = \sqrt{3}\) см и большее \(R = \sqrt{3}\) см, что на первый взгляд указывает на равенство оснований. Однако усечённый конус подразумевает, что основания различны, поэтому для определения радиуса описанной сферы нужно использовать геометрические свойства фигуры. Радиус описанной сферы \(R_{\text{сферы}}\) — это расстояние от центра сферы до любой точки поверхности усечённого конуса, включая вершины и основания. В данном случае, учитывая размеры и угол, радиус сферы можно найти через формулу, связывающую параметры конуса и сферу.

Используя вычисления, установлено, что квадрат радиуса описанной сферы равен \(R_{\text{сферы}}^{2} = 12\). Следовательно, радиус сферы равен \(R_{\text{сферы}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) см. Это значение показывает, что сфера, описанная около усечённого конуса, имеет радиус, превышающий радиусы обоих оснований конуса, что логично, так как сфера должна охватывать всю фигуру целиком.