ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус основания конуса равен 4 см, а радиус описанного около него шара — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Радиус шара \(R\) связан с параметрами конуса формулой \(R = \frac{l^2}{2h}\), где \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\).

Подставляем \(r = 4\), \(R = 5\): \(5 = \frac{16 + h^2}{2h}\).

Умножаем: \(10h = 16 + h^2\).

Решаем квадратное уравнение: \(h^2 — 10h + 16 = 0\).

Корни: \(h = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}\), значит \(h = 8\) или \(h = 2\).

Вычисляем \(l\): при \(h=8\), \(l = \sqrt{16 + 64} = 4 \sqrt{5}\); при \(h=2\), \(l = \sqrt{16 + 4} = 2 \sqrt{5}\).

Площадь боковой поверхности \(S_{\text{бок}} = \pi r l\).

При \(h=8\), \(S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{5} = 16 \pi \sqrt{5}\).

При \(h=2\), \(S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{5} = 8 \pi \sqrt{5}\).

Ответ: \(16 \pi \sqrt{5}\) или \(8 \pi \sqrt{5}\).

Радиус описанного шара \(R\) вокруг конуса связан с длиной образующей \(l\) и высотой \(h\) конуса формулой \(R = \frac{l^2}{2h}\). Здесь \(l\) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами радиусом основания \(r\) и высотой \(h\), то есть \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\). Поскольку нам известен радиус основания \(r = 4\) см и радиус шара \(R = 5\) см, мы можем выразить высоту \(h\) через эти величины, подставив \(l^2 = r^2 + h^2\) в формулу для \(R\).

Подставляем известные значения в формулу: \(5 = \frac{16 + h^2}{2h}\). Умножая обе части на \(2h\), получаем уравнение \(10h = 16 + h^2\). Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(h^2 — 10h + 16 = 0\). Решая его по формуле корней квадратного уравнения, находим \(h = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}\). Значит, два возможных значения высоты: \(h = 8\) см и \(h = 2\) см.

Теперь вычислим длину образующей \(l\) для каждого значения высоты. При \(h = 8\) имеем \(l = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}\). При \(h = 2\) получаем \(l = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}\). Площадь боковой поверхности конуса определяется формулой \(S_{\text{бок}} = \pi r l\). Подставляя значения, для \(h = 8\) получаем \(S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{5} = 16 \pi \sqrt{5}\), а для \(h = 2\) — \(S_{\text{бок}} = \pi \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{5} = 8 \pi \sqrt{5}\). Таким образом, площадь боковой поверхности конуса может быть равна либо \(16 \pi \sqrt{5}\), либо \(8 \pi \sqrt{5}\) квадратных сантиметров.