ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В сферу радиуса \(R\) вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен \(\alpha\). В конус помещён цилиндр так, что одно из оснований цилиндра принадлежит основанию конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Известно, что осевым сечением цилиндра является квадрат. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Пусть высота цилиндра \(h\), радиус основания \(r\).

Осевое сечение цилиндра — квадрат, значит \(h = 2r\).

Угол между образующей конуса и основанием \(\alpha\). Тогда по треугольнику:
\(r = h \sin \alpha\).

Подставляем \(h = 2r\):
\(r = 2r \sin \alpha \Rightarrow 1 = 2 \sin \alpha \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{2}\).

Радиус цилиндра выразим через \(R\) и \(\alpha\):
\(r = R \frac{\sin \alpha \sin 2\alpha}{2 \cos \alpha + \sin \alpha}\).

Площадь полной поверхности цилиндра:
\(S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot 2r = 6\pi r^2\).

Подставляем \(r\):
\(S = \frac{6\pi R^2 \sin^2 \alpha \sin^2 2\alpha}{(2 \cos \alpha + \sin \alpha)^2}\).

1. Пусть высота цилиндра равна \(h\), а радиус основания — \(r\). Из условия, что осевое сечение цилиндра является квадратом, следует, что высота цилиндра равна стороне квадрата, а также равна диаметру основания цилиндра. Значит, \(h = 2r\). Это ключевое соотношение связывает высоту и радиус цилиндра.

2. Рассмотрим угол \(\alpha\) между образующей конуса и его основанием. По геометрии конуса радиус основания цилиндра связан с высотой цилиндра и углом \(\alpha\) через синус угла: \(r = h \sin \alpha\). Подставляя сюда \(h = 2r\), получаем \(r = 2r \sin \alpha\), откуда следует, что \(1 = 2 \sin \alpha\), то есть \(\sin \alpha = \frac{1}{2}\). Это важное уравнение позволяет выразить радиус цилиндра через известные параметры конуса.

3. Теперь выразим радиус цилиндра через радиус основания конуса \(R\) и угол \(\alpha\). Из геометрических построений имеем формулу \(r = R \frac{\sin \alpha \sin 2\alpha}{2 \cos \alpha + \sin \alpha}\). Далее вычислим площадь полной поверхности цилиндра, которая состоит из площади двух оснований и боковой поверхности: \(S = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r h\). Подставляя \(h = 2r\), получаем \(S = 2 \pi r^{2} + 4 \pi r^{2} = 6 \pi r^{2}\). Подставляя выражение для \(r\), окончательно имеем формулу площади полной поверхности цилиндра:
\(S = \frac{6 \pi R^{2} \sin^{2} \alpha \sin^{2} 2\alpha}{(2 \cos \alpha + \sin \alpha)^{2}}\).