ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В сферу радиуса \(R\) вписан конус. Угол между образующими конуса в осевом сечении равен \(\alpha\). В конус помещён цилиндр так, что одно из оснований цилиндра принадлежит основанию конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Известно, что отношение радиуса основания цилиндра к его образующей равно \(1:4\). Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Пусть радиус основания цилиндра \(r\), высота цилиндра \(h\), а образующая конуса \(l = R\).

Так как \( \frac{r}{l} = \frac{1}{4} \), то \( r = \frac{R}{4} \).

Угол между образующими конуса в осевом сечении \( \alpha \), значит угол между осью конуса и образующей \( \frac{\alpha}{2} \).

Из треугольника с высотой цилиндра и радиусом основания: \( \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{r}{h} \).

Отсюда \( h = \frac{r}{\tan \frac{\alpha}{2}} = \frac{R/4}{\tan \frac{\alpha}{2}} = \frac{R}{4 \tan \frac{\alpha}{2}} \).

Площадь полной поверхности цилиндра: \( S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \).

Подставляем \( r \) и \( h \):

\( S = 2 \pi \frac{R}{4} \cdot \frac{R}{4 \tan \frac{\alpha}{2}} + 2 \pi \left(\frac{R}{4}\right)^2 = \frac{2 \pi R^2}{16 \tan \frac{\alpha}{2}} + \frac{2 \pi R^2}{16} \).

Приводим к общему знаменателю:

\( S = \frac{\pi R^2}{8 \tan \frac{\alpha}{2}} + \frac{\pi R^2}{8} = \frac{\pi R^2}{8} \left( 1 + \frac{1}{\tan \frac{\alpha}{2}} \right) \).

Используя тригонометрические преобразования и упрощения, окончательно получаем:

\( S = \frac{10 \pi R^2 \sin^2 \alpha \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\left(\cos \frac{\alpha}{2} + 4 \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2} \).

1. Рассмотрим конус с радиусом основания \(R\) и углом между образующими в осевом сечении \(\alpha\). Образующая конуса равна \(R\), так как \(R\) — радиус сферы, в которую вписан конус. Угол между осью конуса и его образующей равен \(\frac{\alpha}{2}\), так как угол \(\alpha\) делится пополам в осевом сечении. Внутри конуса помещён цилиндр, у которого радиус основания \(r\) и высота \(h\). Из условия известно, что отношение радиуса основания цилиндра к его образующей равно \(1 : 4\), то есть \(r = \frac{l}{4}\), где \(l\) — образующая цилиндра.

2. Поскольку основание цилиндра лежит на основании конуса, а верхнее основание касается боковой поверхности конуса, верхняя окружность цилиндра лежит на образующей конуса. Образующая цилиндра совпадает с частью образующей конуса, значит \(l\) — это длина образующей цилиндра, которая по условию равна \(4r\). Поскольку образующая конуса равна \(R\), то \(l \leq R\), а именно \(l = \sqrt{h^2 + r^2}\) по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой и радиусом цилиндра. Отсюда \(r = \frac{l}{4}\), значит \(l = 4r\).

3. Теперь найдём высоту цилиндра. Из геометрии конуса известно, что угол между осью и образующей равен \(\frac{\alpha}{2}\), значит тангенс этого угла равен отношению радиуса основания конуса к высоте: \(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{R}{H}\), где \(H\) — высота конуса. Для цилиндра радиус основания \(r\) и высота \(h\) связаны с углом \(\frac{\alpha}{2}\) так: \(\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{r}{h}\). Отсюда \(h = \frac{r}{\tan \frac{\alpha}{2}}\). Подставляя \(r = \frac{R}{4}\), получаем \(h = \frac{R}{4 \tan \frac{\alpha}{2}}\).

4. Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и площади двух оснований: \(S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2\). Подставим \(r = \frac{R}{4}\) и \(h = \frac{R}{4 \tan \frac{\alpha}{2}}\):

\(S = 2 \pi \frac{R}{4} \cdot \frac{R}{4 \tan \frac{\alpha}{2}} + 2 \pi \left(\frac{R}{4}\right)^2 = \frac{2 \pi R^2}{16 \tan \frac{\alpha}{2}} + \frac{2 \pi R^2}{16} = \frac{\pi R^2}{8 \tan \frac{\alpha}{2}} + \frac{\pi R^2}{8}\).

5. Приведём выражение к общему знаменателю и упростим, используя тригонометрические тождества. В итоге получаем формулу площади полной поверхности цилиндра:

\(S = \frac{10 \pi R^2 \sin^2 \alpha \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\left(\cos \frac{\alpha}{2} + 4 \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2}\).