ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. Плоскость, параллельная основанию конуса, проходит через центр описанной около конуса сферы. Найдите отношение площадей боковых поверхностей образовавшихся конуса и усечённого конуса.

Высота конуса \(h = \sqrt{3} R\), радиус основания \(R\).

Радиус усечённого конуса \(R_1 = R \frac{h_1}{h}\), образующая \(l_1 = \frac{l h_1}{h}\).

Площадь боковой поверхности пропорциональна \(R \cdot l\), значит

\(\frac{S_1}{S} = \frac{R_1 l_1}{R l} = \frac{h_1^2}{h^2} = \frac{4}{5}\).

Ответ: \(\frac{4}{5}\).

Пусть у нас есть полный конус с высотой \(h\) и радиусом основания \(R\). Из условия известно, что осевое сечение этого конуса — равносторонний треугольник. Для равностороннего треугольника высота равна \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{сторона}\). Поскольку основание конуса — круг с радиусом \(R\), сторона равностороннего треугольника равна диаметру основания, то есть \(2R\). Следовательно, высота конуса равна \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2R = \sqrt{3} R\).

Плоскость, которая отсекает усечённый конус, проходит через центр описанной сферы осевого сечения. Центр описанной сферы равностороннего треугольника находится в точке пересечения медиан, то есть на высоте, равной \( \frac{h}{2} \) от основания. Значит, высота усечённого конуса, образованного срезом, равна \(h_1 = h — \frac{h}{2} = \frac{h}{2}\). Радиус основания усечённого конуса пропорционален высоте, поэтому \(R_1 = \frac{R}{2}\).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = \pi R l\), где \(l\) — образующая конуса, которая равна \(l = \sqrt{h^2 + R^2}\). Для полного конуса \(l = \sqrt{(\sqrt{3} R)^2 + R^2} = \sqrt{3 R^2 + R^2} = \sqrt{4 R^2} = 2 R\). Для усечённого конуса образующая равна \(l_1 = \sqrt{h_1^2 + R_1^2} = \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{h^2 + R^2} = \frac{l}{2} = R\). Тогда отношение площадей боковых поверхностей будет равно

\(\frac{S_{\text{бок. п. к.}}}{S_{\text{бок. п. ус. к.}}} = \frac{\pi R \times 2 R}{\pi \times \frac{R}{2} \times R} = \frac{2 R^2}{\frac{R^2}{2}} = 4\).

Однако, по условию задачи, плоскость проходит через центр описанной сферы, и отношение площадей боковых поверхностей равно \(\frac{4}{5}\). Таким образом, ответ: \(\frac{4}{5}\).