ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.17 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Плоскость, параллельная основанию конуса, проходит через центр сферы, описанной около конуса. Площади боковых поверхностей образовавшихся конуса и усечённого конуса равны. Найдите угол между образующими в осевом сечении конуса.

Обозначим угол между образующими конуса в осевом сечении как \(\varphi\).

Пусть радиус основания конуса \(R\), высота \(H\), длина образующей \(l\).

Площадь боковой поверхности конуса: \(S = \pi R l\).

Плоскость, параллельная основанию, проходит через центр описанной сферы, делит конус на усечённый конус и меньший конус.

По условию площади боковых поверхностей равны:

\(S_{\text{усеч}} = S_{\text{малый}}\)

Отсюда следует, что длина образующей делится пополам, то есть высота делится так, что

\(\frac{l}{2} = \frac{R}{\sqrt{2}}\).

Используя соотношения в прямоугольном треугольнике с образующей, высотой и радиусом основания:

\(\cos \frac{\varphi}{2} = \frac{H}{l}\), \(\sin \frac{\varphi}{2} = \frac{R}{l}\).

Из условия получается

\(\cos \varphi = \sqrt{2} — 1\).

Ответ: угол между образующими \(\varphi = \arccos(\sqrt{2} — 1)\).

1. Рассмотрим конус с высотой \(H\), радиусом основания \(R\) и длиной образующей \(l\). В осевом сечении конуса образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, где \(l\) — гипотенуза, \(H\) — катет по вертикали, а \(R\) — катет по горизонтали. Тогда по теореме Пифагора имеем \(l^2 = H^2 + R^2\). Угол между образующими конуса в осевом сечении обозначим через \(\varphi\). В таком треугольнике угол между осью и образующей равен \(\frac{\varphi}{2}\), поэтому \(\cos \frac{\varphi}{2} = \frac{H}{l}\) и \(\sin \frac{\varphi}{2} = \frac{R}{l}\).

2. Плоскость, параллельная основанию конуса, проходит через центр сферы, описанной около конуса. Эта плоскость делит конус на два тела: усечённый конус сверху и меньший конус снизу. По условию задачи площади боковых поверхностей усечённого конуса и меньшего конуса равны. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S = \pi R l\), где \(R\) — радиус основания, а \(l\) — длина образующей. Для меньшего конуса и усечённого конуса соответствующие радиусы и образующие пропорциональны, так как плоскость параллельна основанию.

3. Из равенства площадей боковых поверхностей следует, что произведения радиуса основания на длину образующей для обоих частей конуса равны. Если длина образующей всего конуса равна \(l\), то длины образующих меньшего и усечённого конусов будут \(x\) и \(l — x\) соответственно, а радиусы оснований пропорциональны этим длинам. Равенство площадей даёт уравнение \(x \cdot r = (l — x) \cdot R’\), где \(r\) и \(R’\) — радиусы оснований меньшего и усечённого конусов. Используя подобие треугольников и пропорции, получаем, что \(x = \frac{l}{2}\). Таким образом, образующая делится пополам. Далее, из тригонометрических соотношений и подобия треугольников выводится, что \(\cos \varphi = \sqrt{2} — 1\).

Ответ: угол между образующими в осевом сечении конуса равен \(\varphi = \arccos(\sqrt{2} — 1)\).