ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.18 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В треугольник \(ABC\) вписан ромб \(AMFK\) так, что угол \(A\) у них общий, а вершина \(F\) принадлежит стороне \(BC\). Найдите сторону ромба, если \(AB = 10\) см, \(AC = 15\) см.

Ромб \(AMFK\) вписан в треугольник \(ABC\), стороны ромба равны \(x\).

Из подобия треугольников \(AMF\) и \(ABC\) следует пропорция \( \frac{10}{10 — x} = \frac{15}{x} \).

Решаем уравнение: \(10x = 15(10 — x)\), откуда \(10x = 150 — 15x\), \(25x = 150\), \(x = \frac{150}{25} = 6\).

Сторона ромба равна 6 см.

Рассмотрим ромб \(AMFK\), который вписан в треугольник \(ABC\). Пусть сторона ромба равна \(x\). Из условия известно, что сторона \(AB\) треугольника равна 10 см, а сторона \(AC\) равна 15 см. Точки \(M\) и \(K\) лежат на сторонах \(AB\) и \(AC\) соответственно, так что отрезок \(AM\) равен \(10 — x\), а отрезок \(AK\) равен \(x\). Поскольку ромб имеет равные стороны, то \(AM = FK = x\) и \(MF = AK = x\).

Для решения задачи используем свойство подобия треугольников. Треугольники \(AMF\) и \(ABC\) подобны, так как у них общий угол при вершине \(A\), а стороны пропорциональны. Из подобия следует равенство отношений соответствующих сторон: отношение стороны \(AB\) к отрезку \(AM\) равно отношению стороны \(AC\) к отрезку \(AF\). Запишем это как пропорцию:
\( \frac{10}{10 — x} = \frac{15}{x} \).

Решим полученное уравнение. Перемножая крест-накрест, получаем:
\(10 \cdot x = 15 \cdot (10 — x)\),
что раскрывается в:
\(10x = 150 — 15x\).
Переносим все переменные в одну часть уравнения:
\(10x + 15x = 150\),
получаем:
\(25x = 150\).
Делим обе части на 25:
\(x = \frac{150}{25} = 6\).

Таким образом, длина стороны ромба \(AMFK\) равна 6 см. Это значение удовлетворяет условию задачи и соответствует свойствам ромба, вписанного в треугольник \(ABC\).