ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.2 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Высота цилиндра равна \(4\sqrt{3}\) см, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол \(60^\circ\). Найдите радиус сферы, описанной около данного цилиндра.

Высота цилиндра \(AD = 4\sqrt{3}\) см.

Угол между диагональю осевого сечения \(BD\) и основанием равен \(60^\circ\), значит \(\sin 60^\circ = \frac{AD}{BD}\).

Подставляем: \(\sin 60^\circ = \frac{4\sqrt{3}}{BD}\), отсюда \(BD = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\) см.

Диагональ \(BD\) связана с радиусом основания \(R\) и высотой \(AD\) по формуле: \(BD = \sqrt{(2R)^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{4R^2 + 48}\).

Приравниваем: \(\sqrt{4R^2 + 48} = 8\), возводим в квадрат: \(4R^2 + 48 = 64\).

Вычитаем 48: \(4R^2 = 16\), делим на 4: \(R^2 = 4\), значит \(R = 2\) см.

Радиус описанной сферы равен половине диагонали: \(R_{\text{сферы}} = \frac{BD}{2} = 4\) см.

Цилиндр имеет высоту \(AD = 4\sqrt{3}\) см. Диагональ осевого сечения \(BD\) образует с плоскостью основания угол \(60^\circ\). Рассмотрим треугольник \(ABD\), где \(AD\) — высота цилиндра, \(AB\) — радиус основания, а \(BD\) — диагональ осевого сечения. По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла. Здесь противолежащий катет — высота \(AD\), гипотенуза — диагональ \(BD\). Значит, \(\sin 60^\circ = \frac{AD}{BD}\). Подставляя известные значения, получаем \(\sin 60^\circ = \frac{4\sqrt{3}}{BD}\). Из этого выражения выразим \(BD\): \(BD = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 60^\circ}\).

Значение \(\sin 60^\circ\) известно и равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это в формулу для \(BD\): \(BD = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 8\) см. Таким образом, диагональ осевого сечения равна 8 см. Диагональ \(BD\) — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами, равными диаметру основания \(2R\) и высоте \(AD\). Значит, \(BD = \sqrt{(2R)^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{4R^2 + 48}\).

Приравниваем найденное значение диагонали к выражению через радиус: \(\sqrt{4R^2 + 48} = 8\). Возводим обе части уравнения в квадрат, получаем \(4R^2 + 48 = 64\). Вычитаем 48 из обеих частей уравнения: \(4R^2 = 16\). Делим обе части на 4: \(R^2 = 4\). Извлекая квадратный корень, получаем радиус основания цилиндра \(R = 2\) см. Радиус сферы, описанной около цилиндра, равен половине диагонали осевого сечения, то есть \(R_{\text{сферы}} = \frac{BD}{2} = \frac{8}{2} = 4\) см.