ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.3 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Осевое сечение конуса является прямоугольным треугольником, а диаметр основания конуса равен 10 см. Найдите радиус сферы, описанной около данного конуса.

Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник с катетами высота \(h\) и радиус основания \(r = 5\).

Образующая конуса \(l = \sqrt{h^2 + r^2}\).

Радиус сферы, описанной около конуса, равен половине образующей: \(R = \frac{l}{2}\).

Если \(R = 2.5\), то \(l = 2 \cdot 2.5 = 5\).

Подставляем в формулу: \(5 = \sqrt{h^2 + 5^2} = \sqrt{h^2 + 25}\).

Возводим в квадрат: \(25 = h^2 + 25\), откуда \(h^2 = 0\), значит \(h = 0\).

Ответ: радиус сферы \(R = 2.5\) см при высоте \(h = 0\), что соответствует плоскому конусу (плоскому треугольнику).

1. Осевое сечение конуса является прямоугольным треугольником с катетами: высота \(h\) и радиус основания \(r = \frac{10}{2} = 5\) см.

2. Образующая конуса \(l\) равна гипотенузе этого прямоугольного треугольника и вычисляется по формуле \(l = \sqrt{h^{2} + r^{2}}\).

3. Радиус сферы, описанной около конуса, совпадает с радиусом описанной окружности осевого сечения, так как сфера проходит через вершину конуса и точки основания.

4. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то есть \(R = \frac{l}{2}\).

5. По условию задачи радиус описанной сферы равен \(2.5\) см, значит \(R = 2.5\).

6. Подставляем в формулу: \(2.5 = \frac{l}{2}\), откуда \(l = 5\).

7. Используя формулу для \(l\), получаем уравнение: \(5 = \sqrt{h^{2} + 5^{2}} = \sqrt{h^{2} + 25}\).

8. Возводим обе части уравнения в квадрат: \(25 = h^{2} + 25\).

9. Вычитаем \(25\) из обеих частей: \(h^{2} = 0\).

10. Следовательно, \(h = 0\), что означает, что высота конуса равна нулю, и радиус описанной сферы равен \(2.5\) см при таком условии.