ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.4 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Образующая конуса длиной 9 см равна диаметру его основания. Найдите радиус сферы, описанной около данного конуса.

Обозначим радиус основания конуса \( R \), образующую \( l = 9 \) см, высоту \( h \).

Из условия: \( l = 2R \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle BOC \) по теореме Пифагора:
\( l^2 = h^2 + R^2 \).
Подставляем \( l = 2R \):
\( (2R)^2 = h^2 + R^2 \),
\( 4R^2 = h^2 + R^2 \),
\( h^2 = 3R^2 \),
\( h = R \sqrt{3} \).

Радиус описанной сферы \( R_{\text{сф}} = \frac{l^2}{2h} \).
Подставляем:
\( R_{\text{сф}} = \frac{(2R)^2}{2 \cdot R \sqrt{3}} = \frac{4R^2}{2R \sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} \).

Так как \( l = 9 \), то \( 2R = 9 \Rightarrow R = \frac{9}{2} \).
Следовательно,
\( R_{\text{сф}} = \frac{2 \cdot \frac{9}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \sqrt{3}}{3} = 3 \sqrt{3} \) см.

Ответ: \( R_{\text{сф}} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \) см.

Рассмотрим конус с образующей \( l = 9 \) см и радиусом основания \( R \). Из условия задачи известно, что образующая в два раза больше радиуса основания, то есть \( l = 2R \). Это важное соотношение позволит выразить высоту конуса через радиус основания.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой \( h \), радиусом основания \( R \) и образующей \( l \), по теореме Пифагора справедливо равенство \( l^2 = h^2 + R^2 \). Подставим сюда \( l = 2R \), тогда получим \( (2R)^2 = h^2 + R^2 \), что раскрывается как \( 4R^2 = h^2 + R^2 \). Вычтя \( R^2 \) из обеих частей уравнения, имеем \( h^2 = 3R^2 \), а значит высота равна \( h = R \sqrt{3} \). Таким образом, высота конуса выражается через радиус основания с множителем \( \sqrt{3} \).

Теперь найдем радиус описанной сферы. Центр сферы, описывающей конус, находится на оси конуса, и радиус сферы можно вычислить по формуле \( R_{\text{сф}} = \frac{l^2}{2h} \). Подставим сюда \( l = 2R \) и \( h = R \sqrt{3} \), тогда получаем \( R_{\text{сф}} = \frac{(2R)^2}{2 \cdot R \sqrt{3}} = \frac{4R^2}{2R \sqrt{3}} = \frac{2R}{\sqrt{3}} \). Из условия \( l = 9 \), значит \( 2R = 9 \), откуда \( R = \frac{9}{2} \). Подставляя это значение в формулу радиуса сферы, получаем \( R_{\text{сф}} = \frac{2 \cdot \frac{9}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9 \sqrt{3}}{3} = 3 \sqrt{3} \) см.

Итоговый ответ: радиус описанной сферы равен \( R_{\text{сф}} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \) см.