ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.5 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В шар вписан цилиндр, высота которого равна диаметру основания. Во сколько раз площадь большого круга шара больше площади основания цилиндра?

Пусть радиус шара равен \( R \).

Высота цилиндра равна диаметру основания, значит \( h = 2r \).

Цилиндр вписан в шар, значит диагональ цилиндра равна диаметру шара:

\( \sqrt{h^2 + (2r)^2} = 2R \).

Подставляем \( h = 2r \):

\( \sqrt{(2r)^2 + (2r)^2} = 2R \Rightarrow \sqrt{8r^2} = 2R \Rightarrow 2r\sqrt{2} = 2R \Rightarrow r = \frac{R}{\sqrt{2}} \).

Площадь большого круга шара:

\( S_{\text{шар}} = \pi R^2 \).

Площадь основания цилиндра:

\( S_{\text{цилиндр}} = \pi r^2 = \pi \frac{R^2}{2} \).

Отношение площадей:

\( \frac{S_{\text{шар}}}{S_{\text{цилиндр}}} = \frac{\pi R^2}{\pi \frac{R^2}{2}} = 2 \).

Ответ: 2.

Пусть радиус шара равен \( R \). В условии сказано, что высота цилиндра равна диаметру его основания. Обозначим радиус основания цилиндра через \( r \). Тогда высота цилиндра будет равна \( h = 2r \).

Поскольку цилиндр вписан в шар, его диагональ, проходящая через центр основания и верхнюю точку крышки, равна диаметру шара. Диагональ цилиндра можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами \( h \) и диаметром основания \( 2r \). Следовательно, длина диагонали равна \( \sqrt{h^{2} + (2r)^{2}} \). По условию эта диагональ равна диаметру шара, то есть \( 2R \). Подставим \( h = 2r \) в уравнение: \( \sqrt{(2r)^{2} + (2r)^{2}} = 2R \). Упростим: \( \sqrt{4r^{2} + 4r^{2}} = 2R \), что даёт \( \sqrt{8r^{2}} = 2R \). Извлекая корень, получаем \( 2r\sqrt{2} = 2R \), откуда \( r\sqrt{2} = R \) и, наконец, \( r = \frac{R}{\sqrt{2}} \).

Теперь найдём площади кругов. Площадь большого круга шара равна \( S_{\text{шар}} = \pi R^{2} \). Площадь основания цилиндра равна \( S_{\text{цилиндр}} = \pi r^{2} \). Подставляя найденное значение \( r \), получаем \( S_{\text{цилиндр}} = \pi \left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right)^{2} = \pi \frac{R^{2}}{2} \). Отношение площади большого круга шара к площади основания цилиндра равно \( \frac{S_{\text{шар}}}{S_{\text{цилиндр}}} = \frac{\pi R^{2}}{\pi \frac{R^{2}}{2}} = 2 \). Ответ: 2.