ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.6 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Диагональ осевого сечения цилиндра образует с высотой цилиндра угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус шара, описанного около него, равен \(R\).

Радиус шара \(R\).

Диагональ осевого сечения цилиндра \(BD = 2R\).

В треугольнике \(BCD\)
\(\cos \alpha = \frac{CD}{2R} \Rightarrow CD = 2R \cos \alpha\).

\(\sin \alpha = \frac{BC}{2R} \Rightarrow BC = 2R \sin \alpha\).

Радиус основания цилиндра \(r = R \sin \alpha\), высота цилиндра \(h = 2R \cos \alpha\).

Площадь боковой поверхности цилиндра
\(S = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot R \sin \alpha \cdot 2R \cos \alpha = 4 \pi R^2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \pi R^2 \sin 2\alpha\).

Рассмотрим цилиндр, описанный около шара радиуса \(R\). Диагональ осевого сечения цилиндра — это отрезок \(BD\), который равен диаметру шара, то есть \(BD = 2R\). Эта диагональ образует с высотой цилиндра угол \(\alpha\). Нам нужно найти площадь боковой поверхности цилиндра.

В треугольнике \(BCD\), который является прямоугольным, сторона \(CD\) — это высота цилиндра, а сторона \(BC\) — диаметр основания цилиндра. По определению косинуса угла \(\alpha\) имеем
\(\cos \alpha = \frac{CD}{BD} = \frac{CD}{2R}\), откуда следует, что
\(CD = 2R \cos \alpha\).
Это длина высоты цилиндра.

Аналогично, по определению синуса угла \(\alpha\) в том же треугольнике
\(\sin \alpha = \frac{BC}{BD} = \frac{BC}{2R}\), откуда
\(BC = 2R \sin \alpha\).
Поскольку \(BC\) — диаметр основания цилиндра, радиус основания равен
\(r = R \sin \alpha\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле
\(S = 2 \pi r h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота цилиндра. Подставим найденные значения:
\(r = R \sin \alpha\),
\(h = 2R \cos \alpha\).
Тогда
\(S = 2 \pi \cdot R \sin \alpha \cdot 2R \cos \alpha = 4 \pi R^{2} \sin \alpha \cos \alpha\).
Используя формулу двойного угла для синуса, получаем
\(S = 2 \pi R^{2} \sin 2\alpha\).
Это и есть площадь боковой поверхности цилиндра, выраженная через радиус шара \(R\) и угол \(\alpha\).