ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.7 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус основания цилиндра равен \(r\), а радиус шара, описанного около этого цилиндра, равен \(R\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Найдём высоту цилиндра \(h\). По теореме Пифагора для треугольника \(ABD\):

\(AB = \sqrt{4R^2 — 4r^2} = 2\sqrt{R^2 — r^2}\).

Высота цилиндра равна \(h = AB = 2\sqrt{R^2 — r^2}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра:

\(S_{\text{бок}} = 2 \pi r h = 2 \pi r \cdot 2 \sqrt{R^2 — r^2} = 4 \pi r \sqrt{R^2 — r^2}\).

1. Рассмотрим треугольник \(ABD\), который является прямоугольным, так как \(AD\) — радиус основания цилиндра, а \(BD\) — высота цилиндра. Из условия известно, что радиус шара, описанного около цилиндра, равен \(R\), а радиус основания цилиндра — \(r\). Диагональ \(AB\) — это диаметр шара, то есть \(2R\). По теореме Пифагора для треугольника \(ABD\) имеем: \(AB^2 = AD^2 + BD^2\). Подставляя известные величины, получаем \( (2R)^2 = (2r)^2 + h^2 \), где \(h\) — высота цилиндра.

2. Выразим высоту \(h\): \(h^2 = (2R)^2 — (2r)^2 = 4R^2 — 4r^2\). Следовательно, \(h = \sqrt{4R^2 — 4r^2} = 2 \sqrt{R^2 — r^2}\). Таким образом, высота цилиндра зависит от радиусов шара и основания цилиндра и равна \(2 \sqrt{R^2 — r^2}\).

3. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{\text{бок}} = 2 \pi r h\). Подставляя найденное значение высоты, получаем: \(S_{\text{бок}} = 2 \pi r \cdot 2 \sqrt{R^2 — r^2} = 4 \pi r \sqrt{R^2 — r^2}\). Это выражение показывает, что площадь боковой поверхности зависит от радиуса основания и разности квадратов радиуса шара и основания цилиндра.