ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 16.9 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус описанного около конуса шара равен \(R\). Образующую конуса видно из центра этого шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Радиус шара \(R\) и угол при вершине \(\alpha\) связаны с образующей конуса.

Пусть \(l\) — образующая конуса, тогда из центра шара под углом \(\alpha\) видна образующая, значит \(l = 2R \sin \frac{\alpha}{2}\).

Радиус основания конуса \(r = R \sin \alpha\).

Площадь боковой поверхности конуса: \(S = \pi r l = \pi (R \sin \alpha)(2R \sin \frac{\alpha}{2}) = 2 \pi R^2 \sin \alpha \sin \frac{\alpha}{2}\).

Рассмотрим конус, описанный около шара радиуса \(R\). Центр шара совпадает с точкой \(O\), из которой видна образующая конуса \(l\) под углом \(\alpha\). Поскольку конус описан около шара, центр шара лежит на оси конуса, а расстояние от центра шара до основания конуса равно \(R\).

Образующая конуса — это линия, соединяющая вершину конуса с точкой на окружности основания. Угол \(\alpha\) между двумя образующими, видимыми из центра шара, позволяет выразить длину образующей через радиус шара. Рассмотрим треугольник, образованный центром шара и двумя точками основания конуса, куда опирается образующая. В этом треугольнике длина образующей равна \(l = 2R \sin \frac{\alpha}{2}\), так как угол при центре шара равен \(\alpha\), а расстояние от центра до основания по радиусу шара — \(R\).

Радиус основания конуса \(r\) связан с радиусом шара и углом \(\alpha\) через тригонометрическую функцию: \(r = R \sin \alpha\). Это следует из того, что радиус основания — это проекция образующей на плоскость основания, и он равен расстоянию от оси конуса до точки основания, видимой под углом \(\alpha\).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S = \pi r l\). Подставляя выражения для \(r\) и \(l\), получаем \(S = \pi (R \sin \alpha)(2R \sin \frac{\alpha}{2}) = 2 \pi R^{2} \sin \alpha \sin \frac{\alpha}{2}\). Таким образом, площадь боковой поверхности конуса выражается через радиус описанного шара и угол \(\alpha\), под которым видна образующая из центра шара.