ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.1 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Найдите радиус шара, вписанного в цилиндр, диагональ осевого сечения которого равна 8 см.

Рассмотрим осевое сечение цилиндра, которое является квадратом со стороной \( 2R \), где \( R \) — радиус шара.

Диагональ квадрата равна \( 8 \), она вычисляется по формуле \( 2R \sqrt{2} \).

Приравниваем: \( 2R \sqrt{2} = 8 \).

Решая уравнение, получаем \( R = \frac{8}{2 \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2} \).

Ответ: радиус шара равен \( 2 \sqrt{2} \) см.

Рассмотрим цилиндр, в который вписан шар радиуса \( R \). Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру шара, то есть \( 2R \), а другая сторона — высоте цилиндра. Поскольку шар вписан в цилиндр, высота цилиндра равна диаметру шара, то есть также \( 2R \). Таким образом, осевое сечение — это квадрат со сторонами \( 2R \).

Диагональ этого квадрата дана и равна 8 см. Диагональ квадрата вычисляется по формуле: диагональ равна стороне, умноженной на корень из 2. То есть диагональ равна \( 2R \sqrt{2} \). Из условия задачи известно, что диагональ равна 8, следовательно, можно записать уравнение: \( 2R \sqrt{2} = 8 \).

Решим это уравнение для \( R \). Разделим обе части уравнения на \( 2 \sqrt{2} \):

\( R = \frac{8}{2 \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} \).

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\( R = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \).

Таким образом, радиус шара равен \( 2 \sqrt{2} \) сантиметра. Это и есть искомый ответ.