ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.10 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен \(\alpha\). Найдите радиус шара, вписанного в данный усечённый конус, и радиусы оснований усечённого конуса, если его образующая равна \(b\).

Пусть \(b\) — образующая усечённого конуса, \(\alpha\) — угол между образующей и плоскостью большего основания.

Рассмотрим треугольник, образованный образующей и радиусами оснований. Из геометрии:

радиус меньшего основания \(r_1 = \frac{1}{2} b \sin \alpha\), так как половина основания равна проекции образующей на основание.

радиус большего основания \(r_2 = b \cos^2 \frac{\alpha}{2}\), исходя из соотношений между углами и проекциями.

радиус вписанного шара \(R = b \sin^2 \frac{\alpha}{2}\), так как он связан с расстоянием от вершины до основания и углом при образующей.

Усечённый конус задаётся образующей длины \(b\) и углом \(\alpha\) между этой образующей и плоскостью большего основания. Чтобы найти радиусы оснований и радиус вписанного шара, рассмотрим геометрические свойства фигуры. Образующая \(b\) — это наклонная линия, соединяющая точки на двух основаниях. Угол \(\alpha\) показывает, как сильно образующая отклонена от плоскости большего основания.

Для радиуса меньшего основания \(r_1\) используем проекцию образующей на основание. Поскольку угол между образующей и плоскостью равен \(\alpha\), проекция образующей на основание равна \(b \sin \alpha\). Поскольку радиус — половина диаметра, получаем \(r_1 = \frac{1}{2} b \sin \alpha\). Это отражает, что меньшая окружность основания получается из наклонной длины, проецируемой на плоскость основания.

Для радиуса большего основания \(r_2\) учитываем, что угол \(\alpha\) можно представить как двойной угол, связанный с полувершиной конуса. Радиус большего основания выражается через косинус половины угла: \(r_2 = b \cos^2 \frac{\alpha}{2}\). Это следует из свойств треугольника, образованного образующей и высотой усечённого конуса, где косинус половины угла даёт длину проекции на основание, а возведение в квадрат связано с площадью или длиной, соответствующей большему основанию.

Радиус вписанного шара \(R\) определяется через расстояние от центра шара до основания и угол наклона образующей. Вписанный шар касается обеих оснований и боковой поверхности, поэтому его радиус связан с углом \(\alpha\) как \(R = b \sin^2 \frac{\alpha}{2}\). Это выражение получается из тригонометрических соотношений, учитывающих высоту и наклон образующей, и показывает, что радиус шара зависит от квадрата синуса половинного угла, отражая геометрию вписанной сферы внутри усечённого конуса.