ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.11 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Сфера радиуса \(r\) вписана в конус, радиус основания которого равен \(R\). Высота и образующая конуса соответственно равны \(h\) и \(l\). Докажите, что \( \frac{r}{R} = \frac{h — r}{l} \).

Рассмотрим сечение конуса, проходящее через его ось. В этом сечении образуется треугольник с основанием \(2R\), высотой \(h\) и образующей \(l\).

Вписанная сфера касается основания конуса и боковой поверхности. Радиус сферы обозначим \(r\).

По свойству касательных и подобия треугольников высота от вершины конуса до точки касания сферы с боковой поверхностью равна \(l — r\).

Используем подобие треугольников:

\( \frac{r}{R} = \frac{h — r}{l} \).

Отсюда выразим \(r\):

\( r \cdot l = R (h — r) \),

\( r \cdot l = R h — R r \),

\( r (l + R) = R h \),

\( r = \frac{R h}{l + R} \).

Рассмотрим конус с радиусом основания \(R\), высотой \(h\) и образующей \(l\). Внутри конуса вписана сфера радиуса \(r\), которая касается основания конуса и его боковой поверхности. Чтобы найти выражение для радиуса сферы, нужно рассмотреть геометрические свойства конуса и сферы, а также использовать подобие треугольников.

Первым шагом рассмотрим сечение конуса, проходящее через его ось симметрии. В этом сечении конус представлен равнобедренным треугольником с основанием \(2R\), высотой \(h\) и боковой стороной \(l\). Вписанная сфера касается основания конуса в одной точке и боковой поверхности в другой. Радиус сферы \(r\) — это расстояние от центра сферы до точки касания с основанием. Центр сферы лежит на оси конуса на высоте \(r\) от основания. Таким образом, расстояние от вершины конуса до центра сферы равно \(h — r\).

Далее рассмотрим треугольники, образованные высотой конуса и касательной к сфере. Из-за касания сферы и боковой поверхности конуса касательная к сфере в точке касания совпадает с образующей конуса. Центр сферы находится на расстоянии \(r\) от боковой поверхности, то есть от образующей. Отрезок от вершины конуса до точки касания сферы с боковой поверхностью равен \(l — r\).

Используя подобие треугольников, получаем пропорцию между радиусами и высотами:

\( \frac{r}{R} = \frac{h — r}{l} \).

Раскроем скобки и выразим \(r\):

\( r \cdot l = R (h — r) \),

\( r \cdot l = R h — R r \),

Перенесём слагаемые с \(r\) в одну сторону:

\( r \cdot l + R r = R h \),

Вынесем \(r\) за скобки:

\( r (l + R) = R h \),

Отсюда выразим радиус сферы:

\( r = \frac{R h}{l + R} \).

Таким образом, мы нашли формулу радиуса вписанной сферы через параметры конуса — радиус основания \(R\), высоту \(h\) и образующую \(l\).