ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус шара, вписанного в конус, равен \(r\). Образующую конуса видно из центра вписанного шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Дано: радиус вписанного шара \(r\), угол при вершине конуса \(\alpha\).

Рассмотрим треугольник, образованный образующей \(l\), высотой и радиусом основания \(R\).

Из треугольника: \(R = l \sin \alpha\), высота \(h = l \cos \alpha\).

Радиус вписанного шара равен расстоянию от центра основания до точки касания, то есть \(r = h — l = l \cos \alpha — l = l (\cos \alpha — 1)\).

Отсюда \(l = \frac{r}{\cos \alpha — 1}\).

Площадь боковой поверхности конуса: \(S = \pi R l = \pi l^2 \sin \alpha\).

Подставляя \(l\), получаем

\(S = \pi \frac{r^2 \sin \alpha}{(\cos \alpha — 1)^2}\).

Рассмотрим конус с вписанным шаром радиуса \(r\) и углом при вершине конуса \(\alpha\). Для нахождения площади боковой поверхности конуса нам нужно выразить длину образующей \(l\) и радиус основания \(R\) через известные параметры. Образующая \(l\) — это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса и радиусом основания. Угол при вершине конуса равен \(2\alpha\), значит половина этого угла — \(\alpha\), и в треугольнике с образующей угол при вершине равен \(\alpha\).

Радиус основания конуса можно выразить как \(R = l \sin \alpha\), а высоту конуса как \(h = l \cos \alpha\). Вписанный шар касается основания и боковой поверхности конуса, поэтому радиус вписанного шара равен расстоянию от центра основания до точки касания шара с боковой поверхностью. Это расстояние равно \(r = h — l\), где \(h\) — высота, а \(l\) — длина образующей. Подставляя выражения для \(h\) и \(l\), получаем \(r = l \cos \alpha — l = l(\cos \alpha — 1)\). Отсюда длина образующей выражается как \(l = \frac{r}{\cos \alpha — 1}\).

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \(S = \pi R l\). Подставляя выражение для радиуса основания \(R = l \sin \alpha\), получаем \(S = \pi l^2 \sin \alpha\). Далее подставляем выражение для \(l\), что дает \(S = \pi \frac{r^2 \sin \alpha}{(\cos \alpha — 1)^2}\). Таким образом, площадь боковой поверхности конуса через радиус вписанного шара и угол при вершине равна \(S = \pi \frac{r^2 \sin \alpha}{(\cos \alpha — 1)^2}\).