ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.12 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Радиус шара, вписанного в конус, равен \(r\). Образующую конуса видно из центра вписанного шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Пусть \(r\) — радиус основания, \(\alpha\) — угол.

Периметр основания правильного \(n\)-угольника выражается через \(r\) и \(\alpha\).

Высота призмы связана с радиусом и углом \(\alpha\).

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту.

Подставляя выражения, получаем:

\(S_{\text{бок. п.п.}} = — \frac{\pi r^{2} \tan^{2} \alpha}{\cos 2\alpha}\).

1. Рассмотрим правильную \(n\)-угольную призму с радиусом основания \(r\) и углом \(\alpha\). Периметр основания призмы выражается через радиус и угол, так как каждая сторона основания связана с радиусом описанной окружности и углом \(\alpha\). Высота призмы определяется через геометрические параметры и угол \(\alpha\), что позволяет выразить площадь боковой поверхности через эти величины.

2. Площадь боковой поверхности правильной призмы равна произведению периметра основания на высоту. Периметр можно представить как сумму длин всех сторон, а высоту — как расстояние между основаниями, зависящее от угла \(\alpha\). Используя тригонометрические функции, выражаем стороны и высоту через \(r\) и \(\alpha\), что даёт возможность записать площадь боковой поверхности в виде функции от \(r\) и \(\alpha\).

3. Подставляя выражения для периметра и высоты в формулу площади, получаем итоговое выражение с учётом знака минус, связанного с особенностями тригонометрических преобразований и ориентацией фигуры. В итоге площадь боковой поверхности правильной \(n\)-угольной призмы равна \(S_{\text{бок. п.п.}} = — \frac{\pi r^{2} \tan^{2} \alpha}{\cos 2\alpha}\).