ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.13 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Наибольший угол между образующими конуса равен \(90^\circ\). В конус вписан шар, радиус которого равен \(R\). Найдите площадь полной поверхности конуса.

Дано: угол между образующими конуса \( \angle (l_1, l_2) = 90^\circ \), радиус вписанного шара \( R \).

Найти: площадь полной поверхности конуса \( S_{\text{п.п.к.}} \).

Решение:

1. Формула площади полной поверхности конуса с радиусом основания \( r \) и образующей \( l \):
\( S_{\text{п.п.к.}} = \pi r^2 + \pi r l \).

2. При угле между образующими \( 90^\circ \) площадь выражается через радиус вписанного шара \( R \):
\( S_{\text{п.п.к.}} = \pi R^2 (5 \sqrt{2} + 7) \).

Ответ: \( S_{\text{п.п.к.}} = \pi R^2 (5 \sqrt{2} + 7) \).

Дано, что угол между образующими конуса равен \(90^\circ\), а внутри конуса вписан шар с радиусом \(R\). Задача состоит в том, чтобы найти площадь полной поверхности конуса, используя эти данные. Площадь полной поверхности конуса включает площадь основания и площадь боковой поверхности.

1. Для начала вспомним формулу площади полной поверхности конуса. Она равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. Площадь основания — это площадь круга с радиусом основания \(r\), то есть \( \pi r^2 \). Площадь боковой поверхности равна произведению полупериметра основания на образующую конуса \(l\), что выражается формулой \( \pi r l \). Итого получаем: \( S_{\text{п.п.к.}} = \pi r^2 + \pi r l \).

2. Теперь нужно выразить радиус основания \(r\) и образующую \(l\) через радиус вписанного шара \(R\) и угол между образующими. Из условия, что угол между образующими равен \(90^\circ\), следует, что геометрия конуса накладывает определённые соотношения между параметрами. Используя свойства вписанного шара и тригонометрические соотношения, можно вывести, что площадь полной поверхности конуса выражается через \(R\) формулой \( S_{\text{п.п.к.}} = \pi R^2 (5 \sqrt{2} + 7) \).

3. Таким образом, подставляя радиус вписанного шара \(R\) в эту формулу, мы получаем искомую площадь полной поверхности конуса, учитывая заданный угол между образующими. Эта формула позволяет напрямую вычислить площадь, не зная отдельно радиус основания и образующую, а используя только радиус вписанного шара и угол \(90^\circ\).

Ответ: \( S_{\text{п.п.к.}} = \pi R^2 (5 \sqrt{2} + 7) \).