Учебник «Геометрия. 11 класс. Углубленный уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского и В.Б. Полонского — это современное и тщательно продуманное пособие, предназначенное для школьников, изучающих геометрию на профильном уровне. Издание полностью соответствует требованиям ФГОС и охватывает все ключевые темы курса геометрии для 11 класса, обеспечивая глубокое и системное понимание предмета.
ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.14 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы
В конус, образующая которого равна 15 см, а высота — 12 см, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.
Дано: образующая \(l=15\) см, высота \(h=12\) см, радиус основания \(R=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{225-144}=9\) см.
Радиус вписанной сферы в конус: \(r=\frac{Rh}{R+l}=\frac{9\cdot12}{9+15}=\frac{108}{24}=4{,}5\) см.
Длина линии касания (окружность): \(L=2\pi r=2\pi\cdot4{,}5=9\pi\) см.
Пусть дан круговой конус с образующей \(l=15\) см и высотой \(h=12\) см. Сначала найдём радиус основания конуса по теореме Пифагора для образующей, высоты и радиуса основания: \(R=\sqrt{l^{2}-h^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9\) см. Этот шаг важен, потому что положение и размер вписанной сферы в конус зависят именно от геометрии основания и высоты. Вписанная сфера касается боковой поверхности по окружности, параллельной основанию, и её радиус совпадает с расстоянием от центра сферы до точки касания по нормали к поверхности конуса.
Радиус вписанной сферы в круговой конус выражается формулой \(r=\frac{Rh}{R+l}\). Она получается из подобия треугольников, образованных осевым сечением конуса, и из условия касания сферы к основанию и боковой поверхности: центр сферы лежит на оси конуса, а отрезки касания образуют равные перпендикуляры. Подставим найденные значения \(R=9\) и \(h=12\), а также \(l=15\): \(r=\frac{9\cdot12}{9+15}=\frac{108}{24}=4{,}5\) см. Это и есть радиус окружности касания на боковой поверхности, поскольку линия касания представляет собой окружность малого круга на развертке боковой поверхности конуса.
Длина линии касания равна длине этой окружности: \(L=2\pi r\). Подставляя \(r=4{,}5\) см, получаем \(L=2\pi\cdot4{,}5=9\pi\) см. Таким образом, искомая длина линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса, равна \(9\pi\) см; форма записи соответствует геометрической интерпретации окружности касания и прямо следует из найденного радиуса вписанной сферы.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!