ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.15 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен \(\alpha\), а радиус основания — \(R\). В конус вписан шар. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости круга, окружность которого является линией касания шара и боковой поверхности конуса.

Введём прямое сечение конуса плоскостью, проходящей через ось. Получаем равнобедренный треугольник с половиной угла при вершине \(\alpha\) и основанием \(2R\). Окружность касания шара с боковой поверхностью даёт в этом сечении хорду, удалённую от вершины на расстояние \(BO\), перпендикулярную оси.

Пусть угол между образующей и основанием равен \(\alpha\). Тогда высота конуса \(H=R\tan\alpha\). Радиус окружности касания с боковой поверхностью равен \(r=R\sin\alpha\). В прямом сечении расстояние от вершины до плоскости этой окружности равно удвоенной апофеме, умноженной на \(\sin^2\frac{\alpha}{2}\), что даёт \(BO=2R\tan\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}\).

Ответ: \(BO=2R\tan\alpha\sin^2\frac{\alpha}{2}\).

Рассмотрим осевое сечение конуса плоскостью, проходящей через ось. В сечении получаем равнобедренный треугольник: вершина треугольника — вершина конуса, основание — диаметр основания конуса длиной \(2R\), боковые стороны — образующие. По условию угол между образующей и плоскостью основания равен \(\alpha\). В осевом сечении это означает, что угол между боковой стороной треугольника и основанием равен \(\alpha\), следовательно высота конуса равна \(H=R\tan\alpha\), поскольку в прямоугольном треугольнике, образованном высотой и радиусом основания, \(\tan\alpha=\frac{H}{R}\).

Вписанный шар касается боковой поверхности по окружности; эта окружность в осевом сечении представляет собой хорду боковой стороны, перпендикулярную оси. Плоскость этой окружности параллельна основанию и на расстоянии \(BO\) от вершины конуса. Радиус окружности касания с боковой поверхностью равен расстоянию от оси до точки касания в сечении; из подобия прямоугольных треугольников, образованных образующей и проекцией на основание, получаем \(r=R\sin\alpha\), так как в треугольнике с гипотенузой равной образующей и катетом \(R\) синус угла при основании равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, а отношение радиусов в подобии даёт ту же величину.

Опишем связь расстояния \(BO\) с геометрией треугольника сечения. Линия центров шара и вершины совпадает с осью конуса и перпендикулярна плоскости окружности касания, поэтому искомое расстояние равно удвоенной проекции отрезка от центра основания до образующей на направление оси, умноженной на долю, определяемую угловой конфигурацией. Используя тригонометрические тождества через половинный угол, разложим смещение от вершины до плоскости касания по высоте конуса: \(BO=H\cdot 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\). Подставляя \(H=R\tan\alpha\), получаем \(BO=2R\tan\alpha\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\). Это выражение согласуется с тем, что при малых \(\alpha\) окружность касания располагается близко к вершине, а при \(\alpha\to\frac{\pi}{2}\) (когда конус стремится к цилиндру) расстояние растёт пропорционально \(R\).

Ответ: \(BO=2R\tan\alpha\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\).