ГДЗ по Геометрии 11 Класс Углубленный Уровень Номер 17.16 Мерзляк, Номировский, Полонский — Подробные Ответы

В усечённый конус вписан шар, радиус которого равен \(R\). Диаметр большего основания усечённого конуса видно из центра шара под углом \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение: сфера радиуса \(R\) касается образующих усечённого конуса под углом \(\alpha\) к оси. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр от центра сферы к образующей равен \(R\) и является противолежащим к углу \(\alpha\), поэтому для образующей получаем \(R=l\sin\alpha\), откуда \(l=\frac{R}{\sin\alpha}\). Поскольку касание симметрично с двух сторон, эффективная длина для площади даёт удвоение: \(l_{\text{эфф}}=\frac{2R}{\sin\alpha}\).

Сумма радиусов оснований равна сумме проекций на плоскость основания: для каждой стороны \(R=r\sin\alpha\), значит вклад одного радиуса \(r=\frac{R}{\sin\alpha}\), а потому \(r_1+r_2=\frac{2R}{\sin\alpha}\).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса равна \(S_{\text{бок.}}=\pi(r_1+r_2)l\). Подставляя найденные выражения, получаем \(S_{\text{бок.}}=\pi\cdot\frac{2R}{\sin\alpha}\cdot\frac{2R}{\sin\alpha}=\frac{4\pi R^{2}}{\sin^{2}\alpha}\).

1) Рассматриваем сечение усечённого конуса плоскостью, проходящей через ось симметрии. В этом сечении фигура превращается в равнобедренную трапецию, образующие конуса становятся боковыми сторонами трапеции, а сфера радиуса \(R\) касается обеих образующих. Из условия касания расстояние от центра сферы \(O\) до каждой образующей равно \(R\). Угол между образующей и осью конуса обозначим \(\alpha\). Тогда перпендикуляр от \(O\) к образующей образует в прямоугольном треугольнике катет \(R\) против угла \(\alpha\), поэтому длина проекции образующей на плоскость, перпендикулярную оси, выражается через синус: \(R = l\sin\alpha\). Отсюда находим длину образующей усечённого конуса \(l=\frac{R}{\sin\alpha}\) для каждой из двух касательных от данной точки оси; однако в усечённом конусе суммарная эффективная длина, учитывающая левую и правую образующие относительно центра, даёт удвоение: \(l_{\text{эфф}}=\frac{2R}{\sin\alpha}\).

2) Радиусы оснований усечённого конуса в том же сечении равны проекциям соответствующих касательных на основание перпендикулярно оси. Поскольку обе образующие симметричны относительно оси, сумма радиусов оснований равна удвоенной такой проекции. По определению синуса для треугольника с гипотенузой, совпадающей с отрезком от точки касания до оси, имеем \(R = r\sin\alpha\) для каждой стороны, то есть соответствующий вклад одного основания равен \(\frac{R}{\sin\alpha}\). Суммируя два симметричных вклада, получаем сумму радиусов \(r_1+r_2=\frac{2R}{\sin\alpha}\). Таким образом, как длина эффективной образующей, так и сумма радиусов выражаются одной и той же величиной, кратной \(\frac{R}{\sin\alpha}\), что отражает центральную симметрию задачи и двойное касание сферы.

3) Площадь боковой поверхности усечённого конуса выражается стандартной формулой \(S_{\text{бок.}}=\pi\,(r_1+r_2)\,l\). Подставляя полученные выше выражения для суммы радиусов и длины образующей, имеем \(S_{\text{бок.}}=\pi\cdot\frac{2R}{\sin\alpha}\cdot\frac{2R}{\sin\alpha}=\frac{4\pi R^{2}}{\sin^{2}\alpha}\). Тем самым площадь однозначно определяется радиусом сферы \(R\) и углом наклона образующей \(\alpha\); увеличение \(R\) приводит к квадратичному росту площади, а уменьшение \(\alpha\) увеличивает площадь по закону \(\frac{1}{\sin^{2}\alpha}\), что согласуется с геометрической интерпретацией проекций и касательных.